联解得
?v??GM/a??bGM?vD?c?aa ?双曲线轨道能量
E?GMm?02a
GMm?02a 椭圆轨道
小结
E??E?0 抛物线轨道 GMmE??02a 双曲线轨道
以下举一个例子
质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求 4R（1）转移所需的最少能量；
2R（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACBR所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化?vA和?vB各为多少？
解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为v1，乃有
AOBC图4-10-4
GMmmv1?22R (2R)故得
2
此时飞船的动能和引力势能分别为
v1?GM2R
Ek1?Ep11GMm2mv1?24R GMm??2R
GMm4R
所以飞船在2R轨道上的机械能为
E1?Ek1?Ep1??同理可得飞船在4R轨道上的机械能为
以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即
（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为
?E?E2?E1?GMm8R
同样可得飞船4R轨道上运行的速度为
v1?GM2R
第二定律可得
v2???v和v2。则由开普勒设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为1 v1?2R?v2?4R
又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有
GM4R
??1GMm1GMm?2??2?mv1?mv222R24R
联立以上两式解之可得
2GMm3R 12GMm??v223R ??v1故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为
?4?GM???v1???vA?v1?1?3?2R?? ?2?GM????1??vB?v2?v2?3???4R
例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为l的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量mA?2m，
BmB?mc?m，距离杆
a?52l8处有一面竖直墙。因受微小扰动，
两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰
AC a 图4-10-5
撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比l小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。
解：
（1）球碰墙前三球的位置
视A、B、C三者为一系统， A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。
B以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以a表示此
时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为
Ma，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应
vB有
mA?AMcosa?mB?MBcosa?mC?BCcosa
vA 图4-10-7 由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有MB?cosa?BC?cosa?a，即
MB?1lAB?44故得 ①
A?CvCl52cosa?lcosa?l48。
由上式解得
（2）求三球碰墙前的速度
由于碰墙前M点的水平坐标不变，则在A、C沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于图
cosa?22，故有a?45? ②
5中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的3倍，可见任何时刻
5C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的3倍。以vA、vB、vC分别表示图5-2-2中三球
的速度，则有
5vC?vA3 ③
又设vB沿BC方向的分量为vBC，则由于vB和vC分别为杆BC两端的小球速度，则此两
小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即
vBC?vCcosa。
再设vB沿BA方向的分量为vBA，同上道理可得
vBA?vAcosa
注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得vB的大小为
2222vB?vBC?vBA?vC?vAcosa
以②③两式带入上式，乃得
vB?17vA9 ④
由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒，乃有
v?BC111222mBgl?mBg?lsina?mAvA?mBvB?mCvC222。
以①~④式代入上式。解方程知可得
Bv?BAvA?vC图4-10-8
??32vA?(1?)gl102 ⑤
（3）求C球在刚碰墙后三球的速度
如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速
AC度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿CB方向的分量vBC与C球速度沿CB方向的分量相等，即
?v?BC?vCcosa?vCcosa ⑥
由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为vA。故得此时B球速度
BA满足 沿BA方向的分量v?