江苏省南京市金陵中学高中物理竞赛《热学教程第四讲 动量 角动量和能量》教案 下载本文

联解得

?v??GM/a??bGM?vD?c?aa ?双曲线轨道能量

E?GMm?02a

GMm?02a 椭圆轨道

小结

E??E?0 抛物线轨道 GMmE??02a 双曲线轨道

以下举一个例子

质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动,已知地球半径为R,飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上,如图4-10-4所示,求 4R(1)转移所需的最少能量;

2R(2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的,如图中的ACBR所示,则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化?vA和?vB各为多少?

解: (1)宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时,万有引力提供向心力,令其速度为v1,乃有

AOBC图4-10-4

GMmmv1?22R (2R)故得

2

此时飞船的动能和引力势能分别为

v1?GM2R

Ek1?Ep11GMm2mv1?24R GMm??2R

GMm4R

所以飞船在2R轨道上的机械能为

E1?Ek1?Ep1??同理可得飞船在4R轨道上的机械能为

以两轨道上飞船所具有的机械能比较,知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量,即

(2)由(1)已得飞船在2R轨道上运行的速度为

?E?E2?E1?GMm8R

同样可得飞船4R轨道上运行的速度为

v1?GM2R

第二定律可得

v2???v和v2。则由开普勒设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时,在A、B两点的速度分别为1 v1?2R?v2?4R

又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒,故应有

GM4R

??1GMm1GMm?2??2?mv1?mv222R24R

联立以上两式解之可得

2GMm3R 12GMm??v223R ??v1故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为

?4?GM???v1???vA?v1?1?3?2R?? ?2?GM????1??vB?v2?v2?3???4R

例如:三个钢球A、B、C由轻质的长为l的硬杆连接,竖立在水平面上,如图4-10-5所示。已知三球质量mA?2m,

BmB?mc?m,距离杆

a?52l8处有一面竖直墙。因受微小扰动,

两杆分别向两边滑动,使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰

AC a 图4-10-5

撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变,且所有摩擦不计,各球的直径都比l小很多,求B球落地瞬间三球的速度大小。

解:

(1)球碰墙前三球的位置

视A、B、C三者为一系统, A、C在水平面上滑动时,只要C不与墙面相碰,则此系统不受水平外力作用,此系统质心的水平坐标不发生变化。

B以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置,以a表示此

时BC杆与水平面间的夹角,则AB杆与水平面间的夹角也为

Ma,并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同,则应

vB有

mA?AMcosa?mB?MBcosa?mC?BCcosa

vA 图4-10-7 由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同,故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a,即M点与C球的水平距离为a,由此有MB?cosa?BC?cosa?a,即

MB?1lAB?44故得 ①

A?CvCl52cosa?lcosa?l48。

由上式解得

(2)求三球碰墙前的速度

由于碰墙前M点的水平坐标不变,则在A、C沿水平面滑动过程中的任何时刻,由于图

cosa?22,故有a?45? ②

5中的几何约束,C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的3倍,可见任何时刻

5C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的3倍。以vA、vB、vC分别表示图5-2-2中三球

的速度,则有

5vC?vA3 ③

又设vB沿BC方向的分量为vBC,则由于vB和vC分别为杆BC两端的小球速度,则此两

小球速度沿着杆方向的投影应该相等,即

vBC?vCcosa。

再设vB沿BA方向的分量为vBA,同上道理可得

vBA?vAcosa

注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直,故得vB的大小为

2222vB?vBC?vBA?vC?vAcosa

以②③两式带入上式,乃得

vB?17vA9 ④

由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒,乃有

v?BC111222mBgl?mBg?lsina?mAvA?mBvB?mCvC222。

以①~④式代入上式。解方程知可得

Bv?BAvA?vC图4-10-8

??32vA?(1?)gl102 ⑤

(3)求C球在刚碰墙后三球的速度

如图4-10-8所示,由于C球与墙碰撞,导致C球的速度反向而大小不变,由于杆BC对碰撞作用力的传递,使B球的速

AC度也随之变化,这一变化的结果是:B球速度沿CB方向的分量vBC与C球速度沿CB方向的分量相等,即

?v?BC?vCcosa?vCcosa ⑥

由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力,故B球在垂直于杆身方向(即BA方向)的速度不因碰撞而发生变化,A球的速度也不因碰撞而发生变化,即其仍为vA。故得此时B球速度

BA满足 沿BA方向的分量v?