任意四边形、梯形与相似模型

例题精讲

板块一 任意四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAs2Bs1Os3s4C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形

的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

D6C7B67AE

【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 在ABE，CDE中有?AEB??CED，所以ABE，CDE 的面积比为(AE?EB):(CE?DE)．同

理有ADE，BCE的面积比为(AE?DE):(BE?EC)．所以有SABE×SCDE=SADE×SBCE，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即SABE?6=SADE?7，所以有ABE与ADE的面积

76比为7:6，SABE=?39?21公顷，SADE=?39?18公顷．

6?76?7显然，最大的三角形的面积为21公顷．

【答案】21

【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方

千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

CBOAD【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】小数报

4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 1 of 7 【解析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1?2?3?1.5?7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米

【答案】0.58

【例 3】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面

积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

黄绿15%【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第7题 【解析】 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所

以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)

【答案】60

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面

积；⑵AG:GC?？

A2BC1G3D

【考点】任意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC?1?2?3，那么SBGC?6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3．

【答案】1:3

【例 4】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

1面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3AOBCDAHOBGD

【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用

已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的

已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3，∴OC?2?3?6，∴OC:OD?6:3?2:1． 解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G．

1111∵S?ABD?S?BCD，∴AH?CG，∴S?AOD?S?DOC，∴AO?CO，∴OC?2?3?6，

3333∴OC:OD?6:3?2:1．

4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 2 of 7 C【答案】2倍

【例 5】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是

2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGBECFD【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为2?4?4?6?16，那么△BCO和?CDO的面积都是16?2?8，

所以△OCF的面积为8?4?4；

⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为8?6?2，

根据蝴蝶定理，EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2，所以S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2，

112那么S?GCE?S?CEF??2?．

1?2332【答案】

3

【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．

ADB

ADBOC

【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题

C

【解析】 连接AD、CD、BC．则可根据格点面积公式，可以得到?ABC的面积为：1?面积为：3?所以S?ABO【答案】

4?1?2，?ACD的234?1?3.5，?ABD的面积为：2??1?3．所以BO:OD?S?ABC:S?ACD?2:3.5?4:7，224412??S?ABD??3?． 4?71111

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．

E12 11DABC【考点】任意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 因为BD:CE?2:5，且BD∥CE，所以DA:AC?2:5，S?ABC?【答案】

5510S?DBC??2?． 2?577

【例 7】 如图，边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，CF?FD，求三角形AEG的面积．

10 74-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 3 of 7