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复变函数的积分习题二答案
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习题二解答
1.利用导数定义推出:
1 1 n n?1 ? ? 1)( )' ,( ) 2 '
z nz n是正整数; )? ? ? 2 z z ? ?
n (z +?z)n ?zn n?1 n?1 n?1
证 1 )(z )' lim lim(nz +C ?z +?z ) nz
z z ?→0 ?z ?→0
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。2 n?2 z n 演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案
1 1 ?
1 1 1
? ? z +?z z
2 )? ?' lim z ?→z 0 ?z ? ?
2.下列函数何处可导?何处解析?
2 3 3
(1)f (z ) x ?i y 2x =+3y i
() 2 2
(3)f z xy +ix y sin xchy +i cosxshy
?u ?u 解 (1)由于 2x, ?x ?y 精心收集 精心编辑 精致阅读 ?lim =? 2 ?→z 0 z(z +?z) z (2 )f (z) (4 )f (z) ?v ?v 0, 0, ?1 ?x ?y
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1
( )
在z 平面上处处连续,且当且仅当x ? 时,u,v 才满足C-R 条件,故f z u +i v x ?i y 仅在 2 1
直线x ? 上可导,在z 平面上处处不解析。 2
?u 2 ?u ?v ?v 2
(2 )由于 6x , 0 , 0 , 9y
?x ?y ?x ?y
在z 平面上处处连续,且当且仅当 2 2
2x 3y ,即 2x ± 3y 0 时,u,v 才满足C-R 条件,故
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3 3
f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线 2x ± 3y 0 上可导,在z 平面上处处不解析。 ( )
?u 2 ?u ?v ?v 2 (3)由于 y , 2xy , 2xy , x
?x ?y ?x ?y
在z 平面上处处连续,且当且仅当z=0 时,u,v 才满足C-R 条件,故 () 2 2
f z xy +i x y 仅在点z 0
处可导,在z 平面处处不解析。
?u ?u ?v ?v
(4 )由于 cosxchy , sin xshy , =?sin xshy , cosxchy
?x ?y ?x
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?y
在z 平面上处处连续,且在整个复平面u,v 才满足C-R 条件,故f (z) sin xchy +i cosxshy 在
z 平面处处可导,在z 平面处处不解析。
3.指出下列函数f (z) 的解析性区域,并求出其导数。 1)(z ?1)5 ; (2 )z3 +2iz ;
1 az +b
3) ; (4 ) 中至少有一个不为
2 (c,d 0)
z ?1 cz +d ′ 4 ()
解 (1)由于f z 5(z =?1) ,故f z 在z 平面上处处解析。
( )
′( ) 2 ()
(2 )由于f z 3z +2i ,知f z 在z 平面上处处解
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