2017年全国中考压轴题系列

2017年四川省成都市中考数学试卷压轴题

20．(2017﹒成都)如图,在△ABC中,AB＝AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F． (1)求证：DH是圆O的切线； EF

(2)若A为EH的中点,求的值；

FD(3)若EA＝EF＝1,求圆O的半径．

27．(2017﹒成都)问题背景：如图1,等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,作AD⊥BC于点D,则D为BC1BC2BD

的中点,∠BAD＝∠BAC＝60°,于是＝＝3；

2ABAB

迁移应用：如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC＝∠ADE＝120°,D,E,C三点在同一条直线上,

连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,在∠ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF． ①证明△CEF是等边三角形； ②若AE＝5,CE＝2,求BF的长．

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28．(2017﹒成都)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C：y＝ax＋bx＋c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB＝4 2,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′． (1)求抛物线C的函数表达式；

(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围．

(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能,求出m的值；若不能,请说明理由．

2

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2017年四川省成都市中考数学试卷压轴题参考答案

20．证明：(1)连接OD,如图1,

∵OB＝OD,

∴△ODB是等腰三角形, ∠OBD＝∠ODB①, 在△ABC中,∵AB＝AC, ∴∠ABC＝∠ACB②,

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB, ∴OD∥AC, ∵DH⊥AC, ∴DH⊥OD,

∴DH是圆O的切线；

(2)如图2,在⊙O中,∵∠E＝∠B,

∴由(1)可知：∠E＝∠B＝∠C, ∴△EDC是等腰三角形,

∵DH⊥AC,且点A是EH中点, 设AE＝x,EC＝4x,则AC＝3x,

连接AD,则在⊙O中,∠ADB＝90°,AD⊥BD, ∵AB＝AC,

∴D是BC的中点,

∴OD是△ABC的中位线, 113x

∴OD∥AC,OD＝AC＝×3x＝, 222∵OD∥AC,

∴∠E＝∠ODF,

在△AEF和△ODF中,

∵∠E＝∠ODF,∠OFD＝∠AFE, ∴△AEF∽△ODF,