真题演练集训

1

1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1 ，BC＝2，则AC＝( )

2A．5 C．2 答案：B

11

解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，

22又AB＝1 ，BC＝2，所以sin B＝所以B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，由余弦定理可得

2

， 2

B.5 D．1

AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1，

此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.

由余弦定理可得

AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝5.

2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

答案：3

解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可

sin Asin Bsin C化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，∴a－b＝c－bc，∴b＋c－a＝bc.

2

2

2

2

2

2

abcb2＋c2－a2bc1∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.

2bc2bc2

∵△ABC中，4＝a＝b＋c－2bc·cos 60°＝b＋c－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时等号成立)，

113

∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝3.

222

45

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b513＝________.

21

答案：

13

2

2

2

2

2

45

解析：解法一：因为cos A＝，cos C＝，

513312

所以sin A＝，sin C＝，

513

从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C 3541263

＝×＋×＝. 51351365

abasin B21

由正弦定理＝，得b＝＝.

sin Asin Bsin A13

45

解法二：因为cos A＝，cos C＝，

513312

所以sin A＝，sin C＝，

513

4531216

从而cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.

51351365

acasin C20

由正弦定理＝，得c＝＝.

sin Asin Csin A13

21222

由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得b＝.

13

45312

解法三：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，

513513

acasin C20

由正弦定理＝，得c＝＝.

sin Asin Csin A13

21

从而b＝acos C＋ccos A＝.

13解法四：如图，作BD⊥AC于点D，

5512

由cos C＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝. 1313134316

又cos A＝，所以tan A＝，从而AD＝.

5413

21

故b＝AD＋DC＝.

13

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C；

33

(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

2解：(1)由已知及正弦定理，得

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 2cos Csin(A＋B)＝sin C，

故2sin Ccos C＝sin C，C∈(0，π)． 1π

可得cos C＝，所以C＝.

23133

(2)由已知，absin C＝.

22π

又C＝，所以ab＝6.

3

由已知及余弦定理，得a＋b－2abcos C ＝7， 故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25. 所以△ABC的周长为5＋7.

课外拓展阅读

转化与化归思想在解三角形中的应用

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C；

33

(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

2

(1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．

(1)由已知及正弦定理得，

2cos Csin Acos B＋sin Bcos A＝sin C， 2cos Csin(A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C. 1π

可得cos C＝，所以C＝.

23133

(2)由已知，得absin C＝. 22

①

2

2

22

2