1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．

设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立，其中a，x，y是

3x2?xy?y2两两不同的实数，则2的值是 2x?xy?y15（A）3 ； （B）； （C）2； （D）．

33答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ）

３． （A）

方程x2?x?1?0的解是

1?5?1?5； （B）； 221?5?1?5?1?5或； （D）?． 222（C）

答（ ） ４．

?1n已知：x?(1991?1991n)（n是自然数）．那么(x?1?x2)n，的值是

211?1?1（Ａ）1991； （Ｂ）?1991；

?1（Ｃ）(?1)n1991； （Ｄ）(?1)n1991．

答（ ） ５．

若1?2?3???99?100?12nM，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自

然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，那么 a?b?c?d的最大值是 （Ａ）?1；（Ｂ）?5；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７．

如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S1?1，

S1?1S2?3和S3?1，那么，正方形OPQR的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）

８．

S2?3

S3=1

在锐角ΔABC中，AC?1，AB?c，?A?60?，ΔABC的外接圆半径R≤1，则

11（Ａ）< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤；

22答（ ）

（C）c > 2； （D）c = 2． 答（ ） 二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．

２．已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，2b?3c? ． a

(x?1)m(x?1)p?1?3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，恒成立，则 xnxq(m2?2n?p)2q? ．

４．四边形ABCD中，∠ ABC?135?，∠BCD?120?，AB?6，BC?5?3，

CD = 6，则AD = ．

120?135?第二试

x + y， x － y， x y，

x y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．

求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为 n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一.选择题