第十八讲 圆的基本性质

到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：

1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用；

3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．

熟悉如下基本图形、基本结论：

【例题求解】

【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC度数为 ．

作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系．

注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．

圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A．2 B．

51755 C． D．

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思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．

⌒ ⌒

【例3】 如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．

思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．

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【例4】 如图甲，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦C E⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M． (1)求∠COA和∠FDM的度数； (2)求证：△FDM∽△COM；

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(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM? 证明你的结论．

思路点拨 (1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO=

∠FMD；(3)利用图甲的启示思考．

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