09级数模试题

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）

解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面

（2）长方形桌的四条腿长度相同

（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再

假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 与x轴的夹角记为?。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f(?)为A、B离地距离之和，

g(?)为C、D离地距离之和，它们的值由?唯一确定。由假设（1），

，三条腿总能同时着f(?),g(?)均为?的连续函数。又由假设（3）

地， 故f(?)g(?)=0必成立（??）。不妨设f(0)?0g(0)?0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：

已知f(?),g(?)均为?的连续函数，

f(0)?0,g(0)?0且对任意?有

f(?0)g(?0)?0，求证存在某一?0，使f(?0)g(?0)?0。

证明：当θ=π时，与互换位置，故

f(?)?0，

g(?)?0。作

h(?)?f(?)?g(?)，显然，h(?)也是?的连续函数，h(0)?f(0)?g(0)?0而h(?)?f(?)?g(?)?0，由连续函数的取零值定理，存在?0，0??0??，使得h(?0)?0，即f(?0)?g(?0)。又由于f(?0)g(?0)?0，故必

有f(?0)?g(?0)?0，证毕。

2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分）

解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10；

10=235/1000；

10=333/1000； 10=432/1000； 00xy1010

，为正整数；

0z10解得：3 3 4

3.一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每 天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。（15分）

解：设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。 每头猪投入：5t元

产出：（8-0.1t）（80+2t）元

利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）0.2 t^2 + 13t +640 0.2（t^2-654225/4）+3405/4

当32或33时，851.25(元)

因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。

4. 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到1桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？（15分） 解：设：每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。 加工每桶牛奶的信息表:

产品 所需时间 产量 获利/公斤 (1)

A1 12小时 3公斤 24元 A2 8小时 4公斤 16元 <=50

12x8y480 03x100 y0

24*3x + 16*47264y

解得， 当 20，30时， 3360元

则此时，生产生产计划为20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2。 （2）设：纯利润为W元。

33*()=39313360-33*50=1710(元)>0 则，牛奶33元/桶 可以买。

(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：

12x8y480100

03x