2019-2020年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题

抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：

（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：

SΔ=|x1-x2|·||=··||

（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：

SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|

（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、 1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点C（2，

），它与x轴两交点A、B的横坐标是方

程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。 解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3, ∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2. ∴ SΔABC=

例2．已知二次函数y=

x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于

×2×

=

.

D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD

=××||+××|2|=

例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

.

解：由

得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为

（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=BC=

＝3

，AC=

＝

。

＝2

，

∵ AC2+BC2=AB2，

∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， ∴ SΔABC=

AC·BC=

×

×3

=3。

2．求抛物线的解析式

例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。

解：∵ 对称轴为直线x=-2, ∴ -=-2, ∴ b=4,

∴ y=x2+4x+c,

∵ SΔAMB=··||=·||=8，

∴ c=0, ∴ y=x2+4x.

例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，

∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。

解：如图3，∵ SΔACB=AC·BC，

即150= ∴ AB=

×20·BC， ∴ BC=15，

=

=25， AB·OC

又∵ OC⊥AB， ∴ SΔACB=

即150=×25·OC，∴ OC=12，故C点坐标为（0，12），

∴ AO==16，OB=AB-AO=25-16=9， ∴ 点A为（-16，0），点B为（9，0）， ∵ 二次函数的图像过A、B、C三点，

∴ 解得x2-

，

∴ 所求解析式为：y=-x+12.

3．求抛物线解析式中字母系数的值。

例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,

(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点； (2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4

解：

(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。

，求m的值。

(2)SΔ=··|c|=··|m-2|=4.

即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0

解得 m=6或m=-2.