高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理 新人教版 下载本文

第1讲 变化率与导数、导数的运算

【2013年高考会这样考】

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】

本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为

fx2-fx1

. x2-x1

Δy若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为. Δx2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义

Δy→0 = 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率liΔxm

Δx→0 liΔxm

fx0+Δx-fx0

为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|xΔxΔy→0 . =x0,即f′(x0)=liΔxm

Δx(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数f(x)的导函数 →0 称函数f′(x)=liΔxm

fx+Δx-fx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.

Δx4.基本初等函数的导数公式 若f(x)=c,则f′(x)=0; 若f(x)=x(α∈R),则f′(x)=αxα

α-1

若f(x)=sin x,则f′(x)=cos x; 若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x;

若f(x)=a(a>0,且a≠1),则f′(x)=aln_a;

xx若f(x)=e,则f′(x)=e;

若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f′(x)=1

若f(x)=ln x,则f′(x)=. 1

; xln axxx5.导数四则运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)?

?fx?′=f??gx?

xgx-fxg2

[gxx (g(x)≠0).

6.复合函数的求导法则

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.

一个区别

曲线y=f(x)“在”点P(x0,y0)处的切线与“过”点P(x0,y0)的切线的区别:

曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,若切线斜率存在时,切线斜率为k=

f′(x0),是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 两种法则

(1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏.

双基自测

1.下列求导过程中

11?1??ln x?′=

①??′=-2;②(x)′=;③(logax)′=??x?x??ln a?2x1xxxln axln ax;④(a)′=(eln a)′=(e)′=eln a=aln a xln a其中正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D

2.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=(x+2a)(x-a)的导数为( ).

2

A.2(x-a) B.2(x+a) C.3(x-a) D.3(x+a)

解析 f′(x)=(x-a)+(x+2a)[2(x-a)]=3(x-a). 答案 C

sin x1?π?3.(2011·湖南)曲线y=-在点M?,0?处的切线的斜率为( ). sin x+cos x2?4?1122

A.- B. C.- D.

2222

解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义,考查运算求解能力.

2

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2

2222

y′=

cos xx+cos x-sin xx+cos xx-sin x2

1π=,把x=代入得导数1+sin 2x4

1

值为.

2答案 B

4.(2011·江西)若f(x)=x-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为( ). A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4

解析 令f′(x)=2x-2-=

2

x-

xx+

x>0,利用数轴标根法可解得-1<x<0

或x>2,又x>0,所以x>2.故选C. 答案 C

5.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),→0 则f(f(0))=______;liΔxm

f+Δx-fΔx=________(用数字作答).

答案 2 -2

考向一 导数的定义

【例1】?利用导数的定义求函数f(x)=x在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x在x=x0处切线与曲线f(x)=x的交点.

[审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键.

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