第2课时 习题课——对数函数的图像及其性质的应用
学习目标 1.进一步加深理解对数函数的概念(重点)；2.掌握对数函数的性质及其应用(重、难点)．
1．下列函数是对数函数的是( ) A．y＝loga(2x) C．y＝log2x＋1
B．y＝log22 D．y＝lg x
x解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，a≠1)”的形式，只有D选项符合．
答案 D 2．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
1－x1??B．?－∞，－? 3??
1
?1?A.?－，＋∞?
?3??11?C.?－，? ?33?
??1－x>0，
解析 由?
??3x＋1>0，
?1?D．?－，1?
?3?
1
可得－ 3 答案 D 3．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则( ) A．f(x)是偶函数 C．f(x)是R上的增函数 2 2 B．f(x)是奇函数 D．f(x)是R上的减函数 2 解析 因为f(－x)＝lg[(－x)＋1]＝lg(x＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数．故选A． 答案 A ?1?4．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f??＝0，则不等式 ?2? f(log4x)<0的解集是________． 11111－ 解析 由题意可知，f(log4x)<0?－ 222 ???1 答案 ?x? ??2? ?? ?? 题型一 简单对数不等式 1 【例1】 已知函数f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，解不等式f(2x) 解 因为f(x)与g(x)的图像关于x轴对称，所以f(x)＝log1x，故f(2x) aa(2x) a2x>0，?? 当a>1时，原不等式??x－1>0，?x>1， ??2x>x－1，2x>0，?? 当0 ??2x b 无解． 所以当a>1时，原不等式的解集是(1，＋∞)，当0 b??f②logaf(x)>logag(x)?? ?g? xxgx， ??fb(2)当0 ?f???f②logaf(x)>logag(x)?? ?f? xx ab， ； xxgx， 提醒 解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件． 【训练1】 (1)已知log0.7(2x) 解析 (1)原不等式??x－1>0， ??2x>x－1 x>0，?? ??x>1，??x>－1 ?x>1． a>1， ??2a＋1>0， (2)原不等式等价于?2a＋1<3a， ??3a<1 0 或?2a＋1>3a，??3a>1， 1?1?解得a∈?或 3?3? ?1?答案 (1)x>1 (2)?，1? ?3? 2 题型二 对数型复合函数的值域或最值 12 【例2】 求y＝(log1 x)－ log1 x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值． 222解 因为2≤x≤4，所以log1 2≥log1 x≥log1 4， 222即－1≥log1 x≥－2． 2 设t＝log1 x，则－2≤t≤－1， 2 112 所以y＝t－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝， 2413 所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝． 2 规律方法 (1)这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题． (2)注意换元时新元的范围． 【训练2】 已知实数x满足4－10·2＋16≤0，求函数y＝(log3x)－log3x＋2的值域． 解 不等式4－10·2＋16≤0可化为(2)－10·2＋16≤0， 即(2－2)(2－8)≤0.从而有2≤2≤8，即1≤x≤3． 所以0≤log3x≤1． 由于函数y＝(log3x)－log3x＋2可化为 2 xx2 xxx2xxxxy＝(log3x)2－log3x＋2＝?log3x－?2＋， 4 12 ?? 1?? 3116 1315 当log3x＝时，ymin＝；当log3x＝1时，ymax＝． 4162所以，所求函数的值域为? 考查 方向 方向1 对数型函数的单调性与奇偶性 1－mx【例3－1】 已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1，m≠1)是奇函数． x－1(1)求实数m的值； (2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解 (1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立． ?31，5?. ??162? 题型三 对数型函数的综合应用 3