mga?sin??sin???I?11?2③ mvc2?I?221ma2④ 3由②③④得

??2?对⑤式求时间导数得

3g?sin??sin??⑤ 2a?????3gcos?⑥ 4a又由动量定理

?c⑦ N2?m?x当杆脱离墙时，有

N2?0⑧

由①⑤⑥⑦⑧得

3sin??2sin?⑨

所以

??arcsin?sin??

3.27解 如题3.27.1图，

?2?3??yACmg?B题3.27.1图设?为杆与地面的倾角，?为杆脱离墙时的?值。设杆脱离墙时，杆的角速度为

N

ox?,y?,杆的角速?c,y?c,当杆落地时，质心C的横纵速度分别为x?c?c?横纵速度分别为x度为??。当?由?变为0的过程中，机械能守恒：

mga?sin??sin0??111?2?y?2?x?c?c?c2?y?c2?mxma2??2??2 ① 223????????又因为此过程中杆已离开墙，所以杆在水平方向受力为零，故质心水平方向匀速，即

x??c?x?c② 又B点只有水平方向的速度，根据Vc?VB?ω?BC,知当杆落地时，如下关系：

y??c????a ③ 且由3.26题式①得：

y?c?acos????acos?? ④ 将②③④代入①得：

gsin??21?1?3a??2?2a??3?cos2????2⑤ 由3.26题式⑤⑨得

?2???2?3g2a?sin??sin??⑥ sin??23sin? ⑦ 将⑥⑦代入⑤得

??2?3gsin??2a?12?

?1?9sin????????3gsin??112??2

?2a??1?9sin?????3.28解 如题3.28.1图。

y??c与??有xCNmgyf

z?O题3.28.1图对圆柱有如下基本运动微分方程：

?c?f?mgsin???ma① m?x?c?N?mgcos??0② m?y12??f?r③ mr?2f??N④

??tan?⑤

由①②③④得

a?g?sin???cos??⑥

将⑤代入⑥得

a?sin?????

gcos?

3.29解 如题3.29.1图。

yON

fx?题3.29.1图mg设斜面的倾角为?，实心球或球壳的质量为m，半径为r，转动惯量为I，则可

列出下列方程：

mgsin??f?ma①

?② f?r?I?又有无滑动条件

??0 ③ ac?r?由①②③式得

ac?mgsin?I④ m?2r22⑤ mr5I实?I空??x2?y2?ds??r2?rcos??2r2sin?d?d??????22⑥ mr3将⑤⑥代入④得

ac实ac空?25⑦ 21对初速为0的匀加速运动，时间，加速度，位移有如下关系：

t?当s实?s空时，将⑦代入⑧得：

2s⑧ at实t空故实心球滚得快些。

?5 213.30解 如题3.30.1土 图以OA为y轴。OB为z轴。建立与碾轮一起转动的动坐标系Oxyz，设碾轮绕Oy轴转动的角速度ω?????j，水平轴的转动角速度为

ω??k。所以M点的合角速度为

z?合OMyA??N??

xBN题3.30.1图ω合?ω?ω?????j??k

又因为O点和N点的速度为0，所以ON即为瞬时轴。设ON与地面成?夹角，由于ω合沿瞬时轴方向，所以：

?OBb ?tan?????OAc????

??c??VM??合?OM??????j??k???cj?bk???2?ci

??b??cbVM?2?c

aM?dω合dt?OM?ω合??ω合?OM???ω?ω合??OM?ω合??ω合?OM?

c???k?????j??k????cj?bk??????j??k????2?ci???3?2cj??2ck

b故

aM?c???c9???

?b?22