????mg?acos? I???S??得圆柱与斜面的相对滑动加速度 由??c?a?x???g?sin???cos???ma?gcos? SI与转动惯量有关

3.11 答 刚体作定点转动或定轴转动时，

2?Vi?O?Ri?iriO题3-12图体内任一点的线速度才可写为ω?r，这时r是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置，对定轴转动刚体，坐标原点可取在定轴上任一点；包含原点且与转轴垂直的平面内的各点，r才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时，人一点相对与基点的速度也可写为ω?r?，其中r?为该点向基点引的矢径。

3.12 答 刚体绕定点转动时，ω?ω?t?的大小、方向时刻改变，任意时刻ω所在的方位即为瞬时转轴，

dω?r表示由于ω大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速dt度，故称转动加速度。ω??ω?r??ω?v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。

3.13 答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变ω?J，又考虑了J相对固连于刚体的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi?Jyj?Jzk也就是说，既考虑了随刚体运动的牵连运动，又考虑了相对于刚体的相对运动，是以固定参考系观测矢量对时间微商的，故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。

3.14 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量J随刚体以角速度ω转动产生的

iω?J??xI1?x

j?yI2?y?z????I2?I3??y?z?i???I1?I3??z?x?j???I2?I1??x?y?k I3?zk它们具有定性力矩的物理意义，各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量

第三章习题

3.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为

4c2?2r2

c 3.2长为2l的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为

??d?d?lcos??的光滑棱角上。求棒在平衡时与水平面所成的角?。

B2lA?d

第3.2题图 3.3 两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且?ABC形成一直角。如将此棒的A点用绳系于固定点上，则当平衡时，AB和竖直直线所成的角?0满足下列关系

b2 tg?0?2a?2ab式中a及b为棒AB和BC的长度，试证明之。

3.4相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求?角及?角之间的关系。

O??

????第3.4题图? 3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为

1的地板上，另一端则斜靠在摩擦系数为1的高

23墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角，最小当为若干？

3.6把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：

?a?二原子分子。它们的质量是m1，m2，距离是l。

?b?形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h，底边的长度为a。底边上两个

原子的质量为m，顶点上的为m。

12ym2C?h xm1m1a第3.6（b)题图 3.7如椭球方程为

x2y2z2?2?2?1 2abc试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为m，并且密度?是常数。

3.8半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示：

?r2?

???0??1??R2????式中?0及?都是常数。试求此圆球绕直径转动时的回转半径。 3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为

k?试证明之。式中d为对角线的长度。

d32

3.10一均质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多少时间后盘将静止？ 3.11通风机的转动部分以初角速?0绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为

k。如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一

半？又在此时间内共转了多少转？

?0

第3.11题图 3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

?BCb

AaD第3.12题图 3.13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。

3.14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影R与竖直方向的投影R。设此摆的

XY重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆重心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角?0处下降。

3.15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

3.16一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?。在某一瞬时，A点的速度为v，其方向则沿对角线AC。试求此瞬时B点的速度，以v、?及矩形的边长等表示之。假定_____AB?a,BC?b_____。

1?的圆周里滑动，而杆

3.17长为l的杆AB在一固定平面内运动。其A端在半径r?r????2?本身则于任何时刻均通过此圆周的M点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。

OMA?

3.18一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动。杆AB以铰链固结于盘的边缘上的B点，其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角?的关系，设杆长为l，盘的半径为r。

AlB?r ?第3.18题图 3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？

3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a，物体的加速度a及绳中张力T。

12rMm

第3.20题图 3.21一飞轮有一半径为r的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I。在杆轴上绕