?0

第3.11题图 3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

?BCb

AaD第3.12题图 3.13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。

3.14试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影R与竖直方向的投影R。设此摆的

XY重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆重心的距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角?0处下降。

3.15一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

3.16一矩形板ABCD在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值?。在某一瞬时，A点的速度为v，其方向则沿对角线AC。试求此瞬时B点的速度，以v、?及矩形的边长等表示之。假定_____AB?a,BC?b。

_____

1? 3.17长为l的杆AB在一固定平面内运动。其A端在半径r??r??的圆周里滑动，而杆

?2?本身则于任何时刻均通过此圆周的M点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。

OMA?

3.18一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动。杆AB以铰链固结于盘的边缘上的B点， 其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角?的关系，设杆长为l，盘的半径为r。

AlB?r ?第3.18题图 3.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？

3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a，物体的加速度a及绳中张力T。

12rMm

第3.20题图 3.21一飞轮有一半径为r的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I。在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为m的重物。如飞轮受到阻尼力矩G的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过?角后，绳子与杆轴脱离，并再转过?角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。

r

m第3.21题图 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M，将光滑的一面放在水平桌上，目标那上放一质量为m的球。若板沿其长度方向突然有一速度V，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？

3.23重为W的木板受水平力F的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系

1数为?。在板上放一重为W的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度

2a。

3.24半径为a的球，以初速V及初角速?抛掷于一倾角为?的斜面上，使其沿着斜面向上滚动。如V﹥a?，其中?的方向使球有向下滚动的趋势，且摩擦系数?﹥证经过

2

tg?，试7

5V?2a?的时候，球将停止上升。

5gsin? 3.25均质实心圆球，栖于另一固定圆球的顶端。如使其自此位置发生此微偏离，则将开始滚下。试证当两球的公共法线与竖直线所成之角?满足下列关系

2sin??????5sin??3cos??2?

时，则将开始滑动，式中?为摩擦角。

3.26棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为?。如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为

?2?sin?1?sin??

?3?时，棒将与墙分离，试证明之。

3.27试研究上题中棒与墙分离后的运动。并求棒落地时的角速度?，设棒长为2a。 3.28半径为r的均质实心圆柱，放在倾角为?的粗糙斜面上，摩擦系数为?。设运动不是纯滚动，试求圆柱体质心加速度a及圆柱体的角加速度?。

3.29均质实心球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，问哪一个球滚得快些？并证它们经过相等距离所需的时间比是21:5。

3.30碾磨机碾轮的边缘沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则以匀角速?绕铅垂轴OB转动。如OA?c，OB?b，试求轮上最高点的速度及加速度的量值。

?OA

B第3.30题图 3.31转轮AB，绕OC轴转动的角速度为?，而OC绕竖直线OE转动的角速度则为?2。1如_____AD?DB??_____，______OD?b，?COE??，试求转轮最低点B的速度。

题2.15图EC?2A?1?DB

O第3.31题图 3.32高为h、顶角为2?的圆锥在一平面上滚动而不滑动。如已知此锥以匀角速?绕O?轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a和向轴加速度a的量值。

12??A?Oh

第3.32题图 3.33一回转仪，I1?I2?2I3，依惯性绕重心转动，并作规则进动。已知此回转仪的自转角速度为?，并知其自转轴与进动轴间的夹角??60?，求进动角速度?的量值。

21 3.34试用欧勒动力学方程，证明在欧勒-潘索情况中，动量矩J及动量T都是常数。 3.35对称陀螺的轴位于竖直位置，陀螺以很大的角速度?作稳定的自转。今突然在离开

1顶点d处受到一与陀螺的对称轴垂直的冲量I作用。试证陀螺在以后的运动中，最大章动角近似地为

?Id? 2tg?1??I????31?式中I3是陀螺绕对称轴转动的转动惯量。

3.36一个I1?I2?I3的刚体，绕其重心作定点转动。已知作用在刚体上的阻尼力是一力偶，位于与转动瞬轴相垂直的平面内，其力偶矩与瞬时角速度成正比，比例常数为I3?，试证刚体的瞬时角速度在三惯量主轴上的分量为

?x?ae??tI3I1?n?sin?e??t??? ????n?cos?e??t???

????y?ae?tI3I1?z??e??t

式中a,?,?都是常数，而

n?

I3?I1?。 I1第三章习题解答

3.1解 如题3.1.1图。

yN2?N1o?BA题3.1.1图均质棒受到碗的弹力分别为N1，N2,棒自身重力为G。棒与水平方向的夹角为

??Gx?。设棒的长度为l。

由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的和外力为零。沿过A点且与

z轴平行的合力矩为0。即：

?F?F由①②③式得：

yx?N1cos2??N2sin??0①

?N1sin2??N2cos??G?0②

lM?Nc?Gcos??0③ ?i22