I1??mi?y2i?z2i??222m1m22h?i?A,B,D?

2m1?m2m1a2?i?A,B,D? I2??mi?zi?xi??22m1m22m1a2?i?A,B,D? I3??mi?xi?yi??h?2m1?m2222

3.7解 如题3.7.1图所示。

ybacz题3.7.1图

x沿y轴平行于Oxy平切椭球得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：

x2?y??a?1?2??b??22?z2?y??c?1?2??b??22?1

可求该切面的面积

S?y??y2?

??ac??1?b2????故积分

?y2?4??ydm?yS??dy?y?ac1??dy???ab3c ???b?y???b?b2?15??2b2b2同理可求

2x?dm?44??a3bc,?z2dm???abc3 1515故中心主转动惯量：

I1???y2?z2?dm?I2???x2?z2?dm?4??abc?b2?c2? 154??abc?a2?c2? 15I3???x2?y2?dm?4??abc?a2?b2? 15又由于椭球体积

?y2?4?V??S?y?dy???ac?1?dy??abc 2???b?b3?b?bb故

??将?代入I1,I2,I3得：

I1?I2?m3m

?V4?abc1m?b2?c2? 51m?a2?c2? 5I3?1m?a2?b2? 53.8解 设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则

2??r22??dr 1??dm??r?dr???0r?2?R??所以该球对球心的转动惯量

I??rdm???0?0R2R0?r2?57?5? ① ?r?1??dr???R0?R2?35??4在对称球中，绕直径转动时的转动惯量

I??2② I3又球的质量

m??dm???0?0RR0?r2?35?3? ③ ?r?1??dr???R0?R2?15??2又绕直径的回转半径

k?由①②③④得

I?④ mk?14?10?

R35?21?

3.9解 如题3.9.1图所示Oxyz坐标系。

dydzox

z题3.9.1图O为正方体中心。Ox、Oy、Oz分别与正方体的边平行。由对称性可知，Ox、Oy、Oz轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为a。设为平行于轴的

一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量

Ixx??根据对称性得

aa22aa??22??a?y2?z2?dydz?m2

a6Iyy?Izz?Ixx?m2 a6易求正方体的对角线与Ox、Oy、Oz轴的夹角都为?。且

cos??1 3故正方体绕对角线的转动惯量

I?Ixxcos2??Iyycos2??Izzcos2??m2① a6又由于

d?3a②

绕对角线的回转半径

k?由①②③得

k?I③ md 32

3.10解 如题3.10.1图。

drd?ro?r

题3.10.1图z轴过O点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为?。设盘沿顺时针转动，则沿z的

方向有dIz?Mz

dt即

?z?Mz① I?I为转盘绕z轴的转动惯量：I?1， ma2（m为盘的质量）2?z??? ②

（?为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）

Mz??2?0?a0?g?r2d?dr?2?2?g?a3=?g?ma?m???a2?③ 33由①②③得

????4?g

3a又因为

??0???0,

故

??t???0?所以

4?g

t3a??t??0,

得

t?3a?0 4?g

3.11解 如题3.11.1图所示，

?0?o 题3.11.1图设z轴通过O点垂直纸面指向外。则对z轴有：

dz?MZ dt设通风机转动的角速度大小为??t?，由于通风机顺时针转动。所以?z????t?，将

??t??k??t?。又由于???0????0?，解得： z??I??t?,Mz?k??t?代入上式得： ?I???t???0ek?tI

? （?为通风机转动的角度） 故当??t???0时，t?I㏑2。又由于??????t?t2k