设??0??0，

???e??t?0k?tI

k?t???1?eI? ??????t????0e0tk?tIdt???0?I??0k故当t?I㏑2时，??t??I?0，t时间内通风机转动的转数

k2k??t????0?I?0

n??2?4?k

3.12解 如题3.12.1图，

z?BA??0aCb

yODx第3.12.1图

坐标Oxyz与薄片固连，则沿z轴方向有： dz?MZ且

dtz?I?z①

现取如图阴影部分的小区域dS?ady，该区域受到的阻力

2df?kdSv2?kady??zy?

df对z轴的力矩dMz??df?y??ka?z2y3dy所以

Mz??a0a3b2②

dMz??k?z4又薄片对轴的转动惯量

I??y2dm??y2?bdy?00aa1ma2?m??ab?③ 3由①②③得：

?z?t??13ka2b1

t?4m?04m当?z?t???0时，t? 23kab?02

3.13解 如题3.13.1图所示，

y?o?0???lx0

题3.13.1图坐标系Oxyz的原点位于圆弧最顶点。设圆弧平衡时，质心c的坐标为c?0,?l,0?。如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度?，则?满足微分方程

?? ?mglsin??I?I为圆弧相对于Oz轴的转动惯量。当?很小时，sin???，代入上式得：

????mgl??0① I圆弧上对应转角为?的一小段圆弧的坐标为?Rsin?,Rcos??R,0? 质心c的纵坐标

yc?????00?d?R?Rcos??R?????00?Rd???R?sin?0?0R

上式中?为圆弧的线密度

l?R?sin?0?0R ②

又

?sin?0?22③ I???R?Rcos??R???Rsin??d??2mR2??1??????00???0??其中m?2?R?0，将②③代入①得

????g??0④ 2R解④式得通解

??t??Acos??微振动周期

T???g t?????2R?2?2R?2?

gg2R

3.14解 如题3.14.1图所示坐标系Oxyz。

RyORxz?acmg题3.14.1图x

由动量定理及动量矩定理得：

?2?y????R ① ?c?m?xc?m?xcx?2?x????R?mg② ?c?m?yc?m?ycy????mgasin?③ mk2?其中

????xc?asin?,yc??acos?

又根据机械能守恒定律得：

1?2?mga?cos??cos??④ mk2?02由①②③④解得：

mga2?2cos?0?3cos??sin? Rx?2kmga2??3cos??2cos?0?cos??1??mg Ry?2k

3.15解 如题3.15.1图所示坐标系Oxyz。

y?OP?x zA题3.15.1图由于球作无滑滚动，球与地面的接触A的速度与地面一致，等于零，所以A点为转动瞬心。以O为基点。设球的角速度ω???k，则

vA?v0?ω?OA?v0i????k????rj???v0??r?k?0

??v0 r设轮缘上任意一点p，Op与x轴交角为?，则

Op?rcos?i?rsin?j

故

vp?v0?ω?Op?v0i????k???rcos?i?rsin?j?

??v0??rsin??i??rcos?j

当??90?时，得最高点的速度vtop?2v0

ap?a0?dω?Op?ω??ω?Op? dt????k??????k???rcos?i?rsin?j??

v???rcos?i??rsin?j??0?cos?i?sin?j?

r222当??90?和?90?时分别得到最高点和最低点的加速度

atopv??0j

rv?0j r22abottom3.16解 如题3.16.1图所示，

ADaO

b3.16.1图BC由题意知该时刻瞬心一定处在AC的垂线AO中。设瞬心为O。则

AO??v

易知vB的方向如图，在?AOB中

vb?v?2 OB2?AO2?AB2?2AO?ABcos?OAB????a?2a????a2?b2OB?12?v2??2a2?2?vaba2?b2ab

222vB???OB?v??a?2?v

2a?b2OB2?BA2?AO2AB?AOcos?OABcos?OBA??2BO?BABOb?a?v22a?b ?abv2??2a2?2?va2?b2