Earlybird

所以∠ACM＝30°.

MC206在△AMC中，由正弦定理得sin45°＝sin30°， 解得MC＝403(m)．

在Rt△CMD中，CD＝403×sin60°＝60(m)， 故通信塔CD的高为60 m.

7．(2019·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长1002m.

100x解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得sin30°＝sin45°， 解得x＝1002.

8．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为900__m. 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°， ∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA．

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在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900， ∴P，Q两点间的距离为900 m.

9．(2019·湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21__平方千米．

解析：设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里， 132＋142－152132＋?14－15?×?14＋15?∴cosC＝＝

2×13×142×13×141405

＝＝， 2×13×1413

1211212

∴sinC＝13，故△ABC的面积为2×13×14×13×500×1 0002＝21(平方千米)．

10．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”2

与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3 小时．

解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，

则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°. 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°， 整理，得36x2－9x－10＝0，

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25

解得x＝3或x＝－12(舍)．

2

所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3小时．

11．(2019·武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC2＝60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚17秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

(1)求A，C两地的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC． (已知声音的传播速度为340米/秒) 解：(1)由题意，设AC＝x，

2

因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚17秒， 2

所以BC＝x－17×340＝x－40，

在△ABC内，由余弦定理得BC2＝CA2＋BA2－2BA·CA·cos∠BAC， 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420. 答：A，C两地的距离为420米．

(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°. 所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403米． 答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．

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12．如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.

(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；

(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．

解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12. PA2＋AB2－PB2

在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝2PA·ABx2＋202－?x－12?23x＋32

＝5x. 2x·20

同理，在△PAC中，AC＝50，

PA2＋AC2－PC2x2＋502－x225

cos∠PAC＝＝2x·2PA·AC50＝x. 因为cos∠PAB＝cos∠PAC， 3x＋3225

所以5x＝x，解得x＝31. (2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中， 25

由cos∠PAD＝31，得

421

sin∠PAD＝1－cos2∠PAD＝31，

421

所以PD＝PAsin∠PAD＝31×31＝421(km)． 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421 km.

13．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，