【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业17 下载本文

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所以∠ACM=30°.

MC206在△AMC中,由正弦定理得sin45°=sin30°, 解得MC=403(m).

在Rt△CMD中,CD=403×sin60°=60(m), 故通信塔CD的高为60 m.

7.(2019·哈尔滨模拟)如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长1002m.

100x解析:设坡底需加长x m,由正弦定理得sin30°=sin45°, 解得x=1002.

8.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为900__m. 解析:由已知,得∠QAB=∠PAB-∠PAQ=30°. 又∠PBA=∠PBQ=60°, ∴∠AQB=30°,∴AB=BQ.

又PB为公共边,∴△PAB≌△PQB,∴PQ=PA.

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在Rt△PAB中,AP=AB·tan60°=900,故PQ=900, ∴P,Q两点间的距离为900 m.

9.(2019·湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为21__平方千米.

解析:设在△ABC中,a=13里,b=14里,c=15里, 132+142-152132+?14-15?×?14+15?∴cosC==

2×13×142×13×141405

==, 2×13×1413

1211212

∴sinC=13,故△ABC的面积为2×13×14×13×500×1 0002=21(平方千米).

10.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”2

与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3 小时.

解析:设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,如图,

则由已知得△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°. 由余弦定理得:(21x)2=100+(9x)2-2×10×9x×cos120°, 整理,得36x2-9x-10=0,

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25

解得x=3或x=-12(舍).

2

所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3小时.

11.(2019·武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC2=60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚17秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

(1)求A,C两地的距离;

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC. (已知声音的传播速度为340米/秒) 解:(1)由题意,设AC=x,

2

因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚17秒, 2

所以BC=x-17×340=x-40,

在△ABC内,由余弦定理得BC2=CA2+BA2-2BA·CA·cos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420. 答:A,C两地的距离为420米.

(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°. 所以CH=AC·tan∠CAH=1403米. 答:该仪器的垂直弹射高度CH为1403米.

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12.如图所示,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后A,C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.

(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;

(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离.

解:(1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12. PA2+AB2-PB2

在△PAB中,AB=20,cos∠PAB==2PA·ABx2+202-?x-12?23x+32

=5x. 2x·20

同理,在△PAC中,AC=50,

PA2+AC2-PC2x2+502-x225

cos∠PAC==2x·2PA·AC50=x. 因为cos∠PAB=cos∠PAC, 3x+3225

所以5x=x,解得x=31. (2)作PD⊥AC于点D,在△ADP中, 25

由cos∠PAD=31,得

421

sin∠PAD=1-cos2∠PAD=31,

421

所以PD=PAsin∠PAD=31×31=421(km). 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421 km.

13.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,