【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业17 下载本文

Earlybird

CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为( A )

A.7 km C.9 km

B.8 km D.6 km

解析:在△ACD中,由余弦定理得: AD2+CD2-AC234-AC2

cosD==30. 2AD·CD在△ABC中,由余弦定理得: AB2+BC2-AC289-AC2cosB==80. 2AB·BC

因为∠B+∠D=180°,所以cosB+cosD=0, 34-AC289-AC2

即30+80=0,解得AC=7.

14.(2019·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的6-32

数据如图所示,则该图所示的小区的面积是4km.

解析:如图,连接AC,由余弦定理可知 AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=3,

Earlybird

故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=ACAD150°,=,

sin∠ADCsin∠DCA

6-23·4

ACsin∠DCA32-6

即AD===, 12sin∠ADC

2

11?32-6?21

?×=故S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2×1×3+2×?

22??6-32

(km). 4

15.(2019·福州质检)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为22.6__m/s(精确到0.1).

解析:因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°.

设这辆汽车的速度为v m/s,则BC=14v. ADAD在Rt△ADB中,AB===200.

cos∠BADcos60°

Earlybird

AD100

在Rt△ADC中,AC===1002.

cos∠CADcos45°在△ABC中,由余弦定理,

得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,

所以(14v)2=(1002)2+2002-2×1002×200×cos135°,所以v5010

=7≈22.6,

所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

16.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

解:(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 S=900t2+400-2·30t·20·cos?90°-30°? =900t-600t+400=

2?1?2

900?t-3?+300. ??

1103

故当t=3时,Smin=103,v=1=303. 3

即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

Earlybird

(2)设小艇与轮船在B处相遇.如图所示. 则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), 600400故v=900-t+t2.

2

600400

因为0<v≤30,所以900-t+t2≤900, 2322

即t2-t≤0,解得t≥3.又t=3时,v=30, 2

故v=30时,t取得最小值,且最小值等于3. 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可设计航行方案如下:

航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时.