内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 层级快练(五十四)
1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)＋(y＋3)＝13 C．(x－2)＋(y＋3)＝52 答案 A
解析 设该直径的两个端点分别为P(a，0)，Q(0，b)， 则A(2，－3)是线段PQ的中点，
所以P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径r＝|PA|＝（4－2）＋3＝13. 故圆的方程为(x－2)＋(y＋3)＝13.
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)＋(y＋1)＝4 C．(x－1)＋(y－1)＝4 答案 C
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. ∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
∵|CA|＝|CB|，∴(a－1)＋(2－a＋1)＝(a＋1)＋(2－a－1). ∴a＝1，b＝1.∴r＝2. ∴方程为(x－1)＋(y－1)＝4.
3．(2018·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( ) A．(x－1)＋(y－2)＝2 C．(x＋1)＋(y＋2)＝4 答案 A
解析 由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)＋(y－2)＝2，故选A.
4．(2018·沧州七校联考)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A．(x－1)＋(y＋2)＝4
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B．(x＋2)＋(y－3)＝13 D．(x＋2)＋(y－3)＝52
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B．(x＋3)＋(y－1)＝4 D．(x＋1)＋(y＋1)＝4
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B．(x－1)＋(y－2)＝2 D．(x－1)＋(y－2)＝4
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B．(x－2)＋(y＋2)＝2
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C．(x－2)＋(y＋2)＝4 答案 C
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D．(x－22)＋(y＋22)＝4
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解析 依题意，设圆C的圆心坐标为(2，b)，(b<0)．则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝|2＋b－22|
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＝2，∴b＝－2，∴该圆的标准方程为(x－2)＋(y＋2)＝4.选C.
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5．(2018·四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( ) A．(x＋2)＋(y－2)＝1 C．(x＋2)＋(y＋2)＝1 答案 B
解析 C1：(x＋1)＋(y－1)＝1的圆心为(－1，1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1.
6．已知圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 圆C与y轴相切于原点?圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴DD2
当E＝F＝0且D<0时，圆心为(－，0)，半径为||，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)
22＋y＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.
7．过坐标原点O作单位圆x＋y＝1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，→→→
使得OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)，则以下说法正确的是( ) A．点P(a，b)一定在单位圆内 B．点P(a，b)一定在单位圆上 C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上 答案 B
解析 由题意得|OC|＝a＋b＝1，所以点P(a，b)在单位圆上，故选B.
8．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A．x＋(y±2
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B．(x－2)＋(y＋2)＝1 D．(x－2)＋(y－2)＝1
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B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
324)＝ 33
B．x＋(y±
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321
)＝ 33
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C．(x±3242
)＋y＝ 33
D．(x±
3212
)＋y＝ 33
答案 C
解析 方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.
方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x－a)＋y＝r，圆C与y轴交于
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A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan60°
22|OA|133324222
＝＝，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标为(±，0)，r＝|AC|＝1＋()＝.|OC||OC|3333所以圆的方程为(x±
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)＋y＝，选C. 33
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9．(2018·山东青岛一模)若过点P(1，3)作圆O：x＋y＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( ) A.3 C.2 答案 A
解析 如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x＋y＝1的切线， ∴OA⊥AP.
∵P(1，3)，O(0，0)， ∴|OP|＝1＋3＝2. 又∵|OA|＝1，
1
∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝. 2
∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝3.
10．已知点P在圆x＋y＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A．x＋y－x＝0 C．x＋y－y－2＝0 答案 B
解析 设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x＋(2y＋1)＝5，化简，得x＋y＋y－1＝0.
11．在圆x＋y－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A．52
B．102
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B．2 D．4
B．x＋y＋y－1＝0 D．x＋y－x＋y＝0
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C．152 答案 B
D．202
解析 圆的标准方程为(x－1)＋(y－3)＝10，则圆心(1，3)，半径r＝10，由题意知1
AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|
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＝×210×25＝102. 2
12．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x＋y－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( ) A．6 C．8 答案 B
解析 如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，xy
AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，
4－3即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝|3×0－4×1－12|16116
＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×(22
5253＋（－4）11
－1)＝.
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13．若方程x＋y－2x＋2my＋2m－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________． 答案 2 解析 ∵原方程可化为(x－1)＋(y＋m)＝－m＋6m－8，∴r＝－m＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2 当m＝3时，r最大为1，圆的方程为(x－1)＋(y＋3)＝1. 14．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 32252 答案 (x＋2)＋(y－)＝ 24 解析 对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0，3)，3＋45433 (－4，0)为端点的线段为直径，则r＝＝，圆心为(－，)，即(－2，)． 2222232252 ∴圆的方程为(x＋2)＋(y－)＝. 24 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 B.D. 11 221 2 4