数学精品复习资料

专题五 阅读理解问题

A组 全国中考题组

一、填空题

1．(2015·湖南株洲，16，4分)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，b

公式表达式为S＝a＋2－1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．

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解析 如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋2－1；

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矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋2－1； ∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a； 7

题图2中，a＝15，b＝7，故S＝15＋2－1＝17.5. 答案 a 17.5

2．(2015·四川资阳，16，4分)已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛

物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________． 解析 ∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2， ∴A点坐标为(－1，0)，

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?y＝x＋2x＋1，?x＝－1，?x＝1，

解方程组?得?或?

?y＝2x＋2?y＝0?y＝4，

∴点C′的坐标为(1，4)， ∵点C和点C′关于x轴对称， ∴C(1，－4)，

设原抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4， 把A(－1，0)代入得4a－4＝0，解得a＝1， ∴原抛物线解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3. 答案 y＝x2－2x－3 二、解答题

3．(2015·浙江绍兴，21，10分)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．

(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式，小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4.请你写出一个不同于小敏的答案．

(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答． 解 (1)不唯一，如y＝x2－2x＋2.

(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b， ∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1， ∴当b＝1时，c＋b2＋1最小， 抛物线顶点纵坐标的值最小；

此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.

4．(2015·浙江温州，20，8分)各顶点都在方格纸格点(横

竖格

子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，如何计算它的面积？奥地利数学家皮克1

(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋2b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，1

a＝4，b＝6，S＝4＋2×6－1＝6.

(1)请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积；

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(2)请在图乙画一个格点三角形，使它的面积为2，且每条边上除顶点外无其它格点． 解 (1)画法不唯一，如图①或图②，面积分别为9，5. (2)画法不唯一，如图③，图④等．

5．(2015·浙江宁波，24，10分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．

(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；

(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值．