蝴蝶模型

知识框架

四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAs2Bs1Os3s4C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

2AS2aS1OS3S4DBbC

例题精讲

一、任意四边形

【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角

形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

D676EA7C

B

【巩固】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次

是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGBECFD

【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平

方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

CBOAD

【巩固】 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的

面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

黄绿15%

【例 3】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？

A2BC1G3D

【巩固】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD1的面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3AOBCD