WORD格式整理

要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model），具体内容将在后面给出介绍．

由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：

newpop(1)={

<1101011101001100011110>， %% a1 <1000011001010001000010>， %% a2 <1000011001010001000010>， %% a2 <0110101001101110010101>} %% a4 （5）交叉

交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．

我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）

<110101110 1001100011110>， <1101011101010001000010> 交叉得：

<100001100 1010001000010>， <1000011001001100011110>

<10000110010100 01000010>， <1000011001010010010101> 交叉得：

<01101010011011 10010101>， <0110101001101101000010>

通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下： jchpop(1)={

<1101011101010001000010>， <1000011001001100011110>， <1000011001010010010101>， <0110101001101101000010>}

这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了． （6）变异

变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．

现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：

pop(2)= {

<1101011101010001000010>， <1000011001001100011110>，

<1000011011010010010101>，

<0110101001101101000010> }

然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止． （7）终止条件

专业资料 值得拥有

WORD格式整理

遗传算法的终止条件有两类常见条件：（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab程序参见附录1）；（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．

3．遗传算法的收敛性

前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．

图2 均衡搜索的具体实现图示

应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．

下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．

定理1 如果变异概率为Pm?(0,1)，交叉概率为Pc?[0,1]，同时采用比例选择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P是基本的．

定理2 标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．

由定理2可以知道，具有变异概率Pm?(0,1)，交叉概率为Pc?[0,1]以及按比例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．

然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．

最佳个体保存方法（elitist model）的思想是把群体中适应度最高的个体不进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy）．De Jong对此方法作了如下定义：

专业资料 值得拥有

WORD格式整理

定义 设到时刻t（第t代）时，群体中a*（t）为最佳个体．又设A（t＋1）为新一代群体，若A（t＋1）中不存在a*（t），则把a*(t)作为A（t＋1）中的第n+1个个体（其中，n为群体大小）（Matlab程序参见附录11）．

采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．

定理3 具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．

当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．

定理4 具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．

例2：设f(x)?3?x2?x，求 maxf(x), x?[0,2]，编码长度为5，采用上述定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．

此略，留作练习．

二、相关函数（命令）及简介

本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab函数：ones, zeros, sum, size, length, subs, double 等，以及 for, while 等基本程序结构语句，读者可参考前面专门关于Matlab的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）及简介”内容，此略．

三、实验内容

上述例1的求解过程为：

群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为0.01，变量区间为 [?1,2]，取Fmin=?2，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指定遗传代数）的Matlab程序为：

[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50) 执行结果为： Count = 50 Result =

1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 BestMember = 1.0316

专业资料 值得拥有

WORD格式整理

1.4990

图2 例1的计算结果

（注：上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度； 而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）

我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最优解：当x取1.0316时，Max f(x)?1.4990．

Max f(x)?1.5000）当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，，

但对于一个计算机算法来说已经很不错了．

我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．此略，留作练习．实践表明，此时的遗传算法只要经过10代左右就可完成收敛，得到另一个“最优解”，与前面的最优解相差无几．

四、自己动手

1．用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m，求例1的在第二种终止条件下的最优解．

提示：一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：

[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0.00001) Count = 13 Result =

1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 BestMember = 1.0392 1.4985

专业资料 值得拥有