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二、单项选择题：本大题共5个小题，每小题2分，共10分. 在每小题列出的四个备选项

中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分.

6. d7. a 8. d 9. b 10. d 三、计算题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分 11. 解：lim x 4 2 x?0 ? x2

???lim 00 4x3 x 20 t?tdt x?0 ?x?2x 4

?lim 2?x 4

x?0?2. 12. 解： dy1

?sin(1?2x)???cos(1?2x)?1?2x????2cos(1?2x) ? dxsin(1?2x)sin(1?2x)sin(1?2x) ??2cot1(?2x). ?x2

13. 解：?xarctanxdx??arctanxd??2 ??x2x21??arctanx??dx 2??221?x? x21?1?

?arctanx???1??dx 22?1?x2? x211?arctanx?x?arctanx?c. 222

14. 解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径r? 1 , ?

an?13n?1n?1n?1

?lim?n?3lim?3, 而??lim n??an??n?2n??n?23n 故收敛半径r? 1 . 3 ? 11

当x?时,级数化为?,这是调和级数,发散的； 3n?0n?1 ?

(?1)n1

当x??时,级数化为?,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的.

n?13n?0

所以级数的收敛域为?? ?11?

,?. ?33?

15. 解：积分区域d如图所示：把区域看作y型，则有 ?1

d??(x,y)|1?y?2,?x? y? 故 ?

y?, ? y

?x?y ?? d

2yxx

dxdy?dydx 122??1yyy ? ? 2 1

y211x2

dy?1xdx??2dy?21y2yy 1 y

1

1?x? 1 y ?

12?1?1?1?17

??. 1?dy?y???4?3???12?y?2?3y?148 2

四、证明题：本大题共1个小题，共5分 16. 证明：构造函数 f(x)?lnx? ?x

???cos2xdx, e0 ?xx3

即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e] 0ee

连续,且有f(e)?22?0,f(e)?3?e?22?6?e?0,由连续函数的零点定理知方程f(x)?0即lnx? ?x

???cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根. e0113

另一方面, f?(x)??在区间(e,e)内恒小于零,有方程f(x)?0,即 xe ?x

lnx????cos2xdx在区间(e,e3)有至多有一实数根. e0 ?x3

综上所述, 方程lnx????cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根. e0 322