习题课3 竖直面内的圆周运动

[学习目标] 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.

一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型

[导学探究] 如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：

图1

(1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力FT1. (2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力FT2. (3)小球过最高点的最小速度是多大？

(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于gL，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.

(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？

2

mv 1

答案 (1)最低点：FT1＝mg＋

L2mv 2

(2)最高点：FT2＝－mg

L2mv 2

(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2

L＝0时，v2最小，最小速度为v0＝gL.

mv2

(4)当v

L部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.

绳拉球过最高点的条件是：v≥gL.

v2

(5)与绳拉球模型相似，在最高点A时，有FN＋mg＝m，当FN＝0时，v最小为v0＝gr，当

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v＝v0时，小球刚好能够通过最高点，当vv0时，小

球能够通过最高点.

[知识深化] 轻绳模型(如图2所示)的最高点问题

图2

1.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).

v2

2.在最高点的动力学方程FT＋mg＝m.

rv2

3.在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，

r则v＝gr.

v＝gr时，拉力或压力为零. v>gr时，小球受向下的拉力或压力. v

即轻绳模型的临界速度为v临＝gr.

例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s)

2

图3

(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小. 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N

解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.

2

v0

此时有：mg＝m，

l2 / 13

则所求的最小速率为：v0＝gl≈2.24 m/s.

v2

(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，

l代入数据可得：FN＝4 N.

由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.

针对训练 (多选)如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )

图4

A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gl D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案 CD

解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝gl，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确. 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型

[导学探究] 长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图5)

图5

(1)当小球在最高点B的速度为v1 时，求杆对球的作用力. (2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？

(3)试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系？

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