1.构造法概述

1.1 一个简单例子

证明存在两个无理数x,y，使z?xy是有理数[1]

传统证明方法是，假设对于任何两个无理数x,y，都有z?xy是无理数。那么就有

?2?22一定是无理数，进而?2????2???2也是无理数，而

?2????2????(2)2?2是有理数，所以假设不成立

而我们如果令x?2,y?log29，我们已知2和log29都是无理数，此时

xy?(2)log29?2log23?3是有理数，问题得证。

上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。

1.2构造法的发展历史

到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔（H.Weyl）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。

19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。

时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。[3]

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1.3 中学数学需要数学构造法

除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容，数学语言，更重要是数学思想、方法。

在高中数学解题过程里，我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题，这时我们可以另辟蹊径，利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。

2.中学解题中常用的几类构造法

运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻，这时我们根据题设特点，用已知元素和关系式构造一个新的数学形式，如：函数、方程、图形等，这样可以绕过阻碍，得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多，包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究，熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧，以及构造法解题的本质，对问题的化归。

2.1构造图形

代数是数字和文字的组合，但是这并不代表代数和图形完全没有关系，对于一些代数的问题，我们如果能通过途径构造相应的图形，此时解题过程便十分直观、清晰。

例1.1 已知a?0,b?0,a?b?1,求证：2?a?11[4]

?b??2. 22111??1??因为a?b?1,所以?a??,??b???2，(a?)2?(b?)2?(2)2，

2??2?22?这时我们想到这和勾股定理有些相似，我们是不是可以尝试构造一个直角三角形，于是有：如图1.1

证明：构造如图的直角三角形，根据定理，三角形两边之和大于第三边， 所以2?a?1111?b?，而a??2cos?，b??2sin?，

2222所以a?11??b??2(cos??sin?)?2?2sin(??)?2 224

2

综上所述，2?a?11?b??2 22

图1.1

上面这个问题因为出现了形如a2?b2?c2的式子，所以我们想到构造一个直角三角形，如果题目中没有给出这么明显的唯一特征，我们能不能构造呢？

例1.2正数a,b,c,A,B,C，满足条件a?A?b?B?c?C?k，求证：

aB?bC?cA?k2

由求证的不等式aB,bC,cA，我们想到这是不是和面积有关，于是我们构造一个三角形，并且题干中a?A?b?B?c?C?k，所以我们构造一个等边三角形。于是有图1.2

图1.2

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证明：构造一个如图的等边三角形PQR，其中各个边角的关系如下

PN?C,NQ?c,QL?A,LR?a,RM?B,MP?b，考虑图形中的面积关系，有

S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR，又S?LPM?S?NQL?1?1?aBsin，S?MPN?bCsin， 23231?1?cAsin，S?PQR?k2sin，带入S?LRM?S?MPN?S?NQL?S?PQR，得23231?1?1?1?aBsin+bCsin+cAsin

2式两边的sin?都是sin?3，所以约掉，最后化简到aB?bC?cA?k2的形式。考虑

到面积更为简单的形式aB,bC,cA可以是长方形的面积，此时我们可以构造一个矩形，又a?A?b?B?c?C?k，我们不妨构造一个如图1.3的正方形.

图1.3

方法二，证明：构造一个如图所示的正方形PQRT，其中各边关系如下，

PM?a,MT?A,TN?c,NR?C,RS?b,SQ?B,QL?b,LP?B，又正方形有如下

关系，S阴影1?S阴影2?S阴影3?SPQRT，带入数据得aB?bC?cA?k2。

虽然数与形是数学中不同的领域，但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此，如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义，那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时，我们构造的图形也有简单复杂之分，所以构造图形时我们要注意一点，构造几何图形要有正确的思考方

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法，不能盲目去套用图形。从上面两个问题中我们可以简单总结一下思考原则：首先寻找题目中的条件与所求结论中的几何含义，然后考虑可以借用哪些有关的几何概念和性质，最后根据这些选择一个最好的几何图形。

2.2构造方程

方程作为数学解题中一个很重要的工具，是因为方程能把未知和已知联系在一起。遇到一些无从下手的问题时，构造方程可以把条件和结论之间联系起来，使问题中隐藏的关系显露出来，从而快速找到问题的突破口，进而解决问题。

例2.1 若p,q?R，且p3?q3?2，求证：0?p?q?2

题干中给出的是p3?q3的具体值，要求的结论是p?q的取值范围，我们尝试由p3?q3?2出发，有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2，此时出现了要求的

p?q，但是多出来了pq，我们不妨利用方程，把pq解出来,这是p?q和pq显

然是方程的两个根，于是题目隐藏的关系暴露出来，解题思路也由此而生。

证明：由p3?q3?2，有p3?q3?(p?q)3?3pq(p?q)?2，

k2?2显然p?q?0，设p?q?k，则pq?

3kk2?2?0，则p,q为方程的两个实根 构造二次方程x?kx?3k2k2?2?0，解得，0?k?2 故??k?4?3k2即0?p?q?2

上面的过程中构造了一个方程，然后我们要求的p?q的取值范围就变成了，二次方程有实根，解一个判别式大于等于零的不等式。

例2.2 已知a,b,c?R，满足a?b?c?0和abc?2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。[6]

和例2.1中类似，我们可以通过构造方程来发现隐藏的关系。 证明：由a?b?c?0，显然a,b,c中至少有个大于零，不妨设a?0，

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