22，构造二次方程x2?ax??0，则b,c为二次方程的两个实aa2根，故??0，即a2?4??0，又a?0，解得，a?2

a则b?c??a,bc? 上面两个问题都是通过构造二次方程，发现题目已知与结论之间的关系，然后利用二次方程的判别式解决问题。其实还有一种情况，题目中结论形式与二次方程的判别式极为相似，此时我们需要构造二次方程，从而使用二次方程的判别式。我们不妨把这类构造方程方法称作构造判别式法。

例

2.3 设a,b,c?R，且a?c?2b，这时要求证：

(c?b?2a)2?4(a?c?2b)(a?b?2c)

这个问题我们如果直接通过不等式方法去证明，难免会有些繁琐，但是如果我们仔细思考不等式的形式，就会发现这和??0 ，即b2?4ac有类似之处，于是我们需要做得就是构造一个有实根的二次方程，因此解题思路就出现了。

证明：构造方程?a?c?2b?x2?(c?b?2a)x?(a?b?2c)?0

因为a?c?2b，所以构造的方程是二次方程，又把x?1带入发现满足方程，故

x?1为方程一实根，所以二次方程判别式??0，代入数据，

即(c?b?2a)2?4(a?c?2b)(a?b?2c)

有的时候，题干中不一定出现了判别式的形式，这时候要靠我们化简来发现构造方程的前提。

b2c2a2??a?b?c.[7] 例2.4 设a,b,c?R，求证：?abc?由于不等式中没有出现判别式的形式，所以我们第一步需要构造一个判别式的形式，因为a,b,c?R?，所以我们在不等式两边同乘以a?b?c，就出现了判别式的形式，解题思路便随之而来。

b2c2a2?)(a?b?c)?0， 证明：因为a,b,c?R，所以有 (a?b?c)?(?abc?2b2c2a2?)?0， 构造方程(a?b?c)x?2(a?b?c)x?(?abc2 6

?b?c2a2ax???(bx?)?(cx?)?0， 方程经过配方，化简为???a?bc?2显然方程至多有一个实根，此时??0，代入数据，

b2c2a2?)(a?b?c)?0 即(a?b?c)?(?abc2b2c2a2???a?b?c 也就是abc从这两个例子中，我们看到构造判别式法其实也需要构造方程，只是这里构造二次方程有一定技巧，要结合结论要证明的不等式构造二次方程，还要确保二次方程有（或者没有）实根。

无论是一般的构造方程法还是特殊的构造判别式法，我们主体思路就是利用方程思想把题目中要证明的未知结论和题干中已知结合起来，如果是二次方程，一般利用判别式进行解答。

2.3构造函数

函数作为中学阶段最重要的一个领域之一，是因为数学中存在大量的函数关系。如果我们研究的问题本质上属于函数关系，那么我们可以构造一个（或多个）由已知条件构成的函数模型，通过研究函数的性质，进而解决要求的结论。

例3.1 求证：

a?b1?a?b?a1?a?b1?b

这是个带有绝对值的不等式，但是如果真的直接利用绝对值性质去证明，短时间内也无法下手。我们不妨整体把握，发现不等式中有一个我们常见的基本函数模型的身影，即f?x??x，于是我们的解题思路就从f?x?的性质出发。 1?xxx1?1?证明：构造函数f?x??，同时f?x??，易知f?x?在

1?x1?x1?x??1,???上是递增的，因为a?b?a?b，所以f?a?b??即

a?b1?a?b?a?b1?a?b?a1?a?b?b1?a?b?a1?a?bf(a?b)，

1?b上面构造函数之后利用了函数f?x??们有时候还需要利用函数的其他性质。

7

x的单调性来证明不等式，当然我1?x

[8]

例 3.2 解方程 ?6x?5?(1?(6x?5)2?4)?x(1?x2?4)?0解这个复杂的方程看似无从下手，但注意到方程中?6x?5?(1?(6x?5)2?4)与x(1?x2?4)有相同的结构，我们构造函数f(x)?x(1?x2?4)，则原方程就转化为了f(6x?5)??f(x)，这时我们想到只要函数f(x)为奇函数且单调，此题就可以快速解决，于是我们要研究的就是f(x)的单调性和奇偶性。

解：构造函数f(x)?x(1?x2?4)，原方程化为f(6x?5)?f(x)?0 显然f(-x)?-f(x)，f(x)为奇函数 下面证明f(x)具有单调性：设x1?x2 （1） 若x1,x2??0,???，则0?所以 f(x1)?f(x2)

（2） 若x1,x2????,0?，因为

1?x1?4x1?1，所以 ?1，

x21?x2?4f(x1)x1(1?x1?4)? ?1 f(x2)x2(1?x2?4)f(x1)x1(1?x1?4)? ?1，又f(x2)?0， f(x2)x2(1?x2?4)所以 f(x1)?f(x2)

（3） 若x1????,0?，x2??0,???，显然有f(x1)?0，f(x2)?0 所以 f(x1)?f(x2)

由（1）（2）（3）可知，f(x)在???,???上是单调递增的函数， 所以原方程f(6x?5)?f(x)?0等价于f(6x?5)?f(-x)

5即 6x?5?-x，解得 x??

7上面的例子中，我们观察题目中的形式共同点，然后构造了一个基本函数，然后通过研究这个函数单调性或奇偶性，来完成对结论的证明。还有一些特殊情况，我们成功构造函数后，利用的并不是函数单调性或是奇偶性，而是根据恒等

8

式性质来完成结论的证明。我们可以把这种特殊的构造函数法称作构造恒等式法，下面两个问题的解答就是利用了构造恒等式法。

例3.3 已知a,b,c是互不相等的实数，求证：

(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)???1

(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)如果把式子左边展开来证，显然是非常复杂繁琐的，注意到a,b,c互不相等这一特点，我们可以构造一个函数证明这个问题。

证明：构造函数

f(x)?(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)???1

(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)由a,b,c互不相等知，?a,?b,?c也互不相等， 显然f(x)是关于x的不超过二次的函数，而

f(?a)?f(?b)?f(?c)?0，即f(x)?0恒成立

也就是

(x?a)(x?b)(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)???1恒成立

(c?a)(c?b)(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)同样的问题：

例3.4已知a,b,c是互不相等的实数，求证：

a2(a?b)(a?c)b2(b?c)(b?a)c2(c?a)(c?b)???(a?b?c)2

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)和例3.3一样，直接展开左式来证是十分复杂的，我们还是构造一个函数来证明结论，不过这次构造的函数需要一些技巧，要综合式子左右两边来考虑构造的函数。

证明：构造一个函数

a2(x?b)(x?c)b2(x?c)(x?a)c2(x?a)(x?b)f(x)????x2，

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)显然f(x)是关于x的不超过二次的函数，

对于x?a,b,c，带入函数f(x)，有f(a)?f(b)?f(c)?0， 故f(x)?0恒成立

9

a2(x?b)(x?c)b2(x?c)(x?a)c2(x?a)(x?b)即???x2恒成立

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)令x?a?b?c，带入上式，得

a2(a?b)(a?c)b2(b?c)(b?a)c2(c?a)(c?b)???(a?b?c)2

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)综合构造恒等式法，我们把构造函数法所应用的地方加以扩展，包括：不等式证明，方程的求解，以及恒等式的证明。运用构造方程法我们必须要做的是根据题目中给出的形式共同点，需找其函数本质，然后构造函数，对函数的性质（单调性，奇偶性，特殊的如恒等性）进行研究，以获得解答最终问题的所需的目的性质。

2.4构造数列

细数最近几年高考有关数列的综合问题，一般考察数列问题所给出的数列不会是一般的等差、等比数列，这时候需要我们根据题目要求，构造出一个特殊数列（等差数列、等比数列、常数列或者是单调数列），[9]利用这些数列的性质，来解决有关计算或证明。

例4.1 设an?1?2?2?3????n(n?1)，n?1,2,3??

n(n?1)(n?1)2?an?证明： 22拿到问题，第一时间想到的是，这个问题和上面提到的构造函数法有雷同地方。但是数列和函数是有区别的，我们这时候可以构造两个数列，通过单调性来考虑证明最后的不等式。

证明：构造数列xn?an?因为xn?xn?1n(n?1)，n?1,2,3?? 2n(n?1)n(n?1)?an?an?1???n(n?1)?n?0

22n?2,3,4??，即xn为递增数列

且x1?a1?1?2?1?0，故xn?0， 即an?n(n?1)n(n?1)?0，也就是an? 22 10