(n?1)2再构造数列yn?an?，n?1,2,3??
2(n?1)2n2yn?yn?1?an?an?1??22
2n?11?n(n?1)???(n?1?n)2?0,n?2,3??22即yn为递减数列，且y1?a1?2?2?2?0
(n?1)2(n?1)2?0，也就是an?故yn?0，即an? 22n(n?1)(n?1)2?an?综上可知， 22当然，构造数列法不仅仅局限为数列问题中，除了在数列问题里构造一个新数列，一些与自然数有关的问题，我们也是可以通过数列（数组）来求解的。
例4.2 已知a1,a2,a3,??an为两两各不相同的正整数，证明：
ana1a2a3111???????1?????
23n122232n2a1,a2,a3,??an为正整数，这和不等式右边的1,2,3??n有相似之处，我们可以通过构造一个数列，来将左右两边联系起来。
证明：构造两个数列：
??a3an?111??a1a2??1?xn??,,,??y?,,,??，??? n23n?a3an????1??a1a2?由柯西不等式，有
(an1a1a2a31111112??????)(?????)?(1??????) 2222an23n123na1a2a3又题目中有，a1,a2,a3,??an为两两各不相同的正整数，所以
a1,a2,a3,??an的一个最小取法为：1,2,3??n，反过来，
1111111,,,??的一个最大取法为：1,,??
23na1a2a3an 11
即
1111111???????1?????? a1a2a3an23nana1a2a3111???????1????? 222223n123n综合柯西不等式，知
由这个问题，我们看到与自然可数有关的问题，是可以通过构造数列来简化形式的。和构造函数相似，最终都是通过研究数列的性质，来完成求解或证明。
2.5构造命题
在解答数学问题时，如果缺乏现成的依据，使我们不能从条件简单迅速得到结论，那么我们不妨构造一个与原命题基本等价的辅助命题，这样只要辅助命题得证，原命题自然得证，一般把这种方法称作构造辅助命题法。
例5.1 设m,n?N，且7?mm1[10]
?0，求证：7?? nnmnm11要证明7??，即要证，7n2?m2?2?2，
nmnm因为m,n?N， 所以7n2,m2?N， 而条件中7?m?0，有7n2?m2，即7n2?m2?1 n11还有， 1?22mm这是我们根据条件能够完成的步骤，这距离结论7n2?m2?2?我们是不是可以分两步来证明。若能证明7n2?m2?1，则必有7n2?m2?2，若还能证明7n2?m2?2，则必有7n2?m2?3?m2?2?1，由此命题得证。 m2证明：构造一个待证的辅助命题：若m,n?N，证明：7n2?m2?1，且
7n2?m2?2
任何自然数m均可表示为7k或7k?1，7k?2,7k?3,(k?N) 1、若m?7k，则m2?(7k)2?7(7k2)?7M1
于是m2?1?7M1?1, m2?2?7M1?2他们都不是7的整数倍，即
7n2?m2?1，7n2?m2?2
2、若m?7k?1，则m2?(7k?1)2?7(7k2?2k)?1?7M2?1
12
于是m2?1?7M2?2，m2?2?7M2?3，同样不是7的整数倍，即
7n2?m2?1，7n2?m2?2
3、若m?7k?2，则m2?(7k?2)2?7(7k2?4k)?4?7M3?4 于是m2?1?7M3?5，m2?2?7M3?6同样都不是7的整数倍，即
7n2?m2?1，7n2?m2?2
4、若m?7k?3，则m2?(7k?3)2?7(7k2?6k?1)?2?7M4?2 于是m2?1?7M4?3，m2?2?7M4?4，也都不是7的整数倍，即
7n2?m2?1，7n2?m2?2
综上，我们辅助命题得到证明7n2?m2?1，7n2?m2?2。 再由题目知m,n?N， 所以7n2,m2?N，
m?0，有7n2?m2，即7n2?m2?1，辅助命题中我们证明了n17n2?m2?1，7n2?m2?2，因此7n2?m2?3?m2?2?2
mm1也就是7??
nmn而条件中7?我们对于一些运用数学归纳法证明的结论，在从n?k到n?k?1这一步骤时往往需要利用放缩来从等式转化到不等式，但是存在的问题就是，题目中没有给我们放缩的条件，也就是不等式没有上限或者下限，这时我们就要考虑是不是题目的结论太弱了，我们可不可以构造一个命题的加强命题。
所谓一个命题的加强命题，是指它的结论是原命题结论的充分条件。我们可能存在一个思维定势，一个命题的加强命题不是应该比这个命题更难解决吗?一般是这样，但有时也并非如此。
例 5.2 设0?a?1，定义a1?1?a，an?1?切n?N*，有an?1
因为0?a?1，则a1?1?a?1，但若利用数学归纳法证明，设当ak?1，则
1?a(n?1)，求证：对于一an 13
很难推出ak?1?1，因为ak?1?1?a，我们仅从ak?1是不能求出ak?1大于多少ak1?a我们就可以知道ak?1大于ak的，但是如果原来ak小于一个数，那么由ak?1?1?a21?(0?a?1)，于是我们构造一个加强命题：对多少了。又a1?1?a?1?a1?a于一切n?N*，有1?an?1，这样就可以用数学归纳法来解决了。 1?a证明：我们构造一个加强命题：设0?a?1，定义a1?1?a，
an?1?11?a(n?1)，求证：对于一切n?N*，有1?an?
1?aan我们利用数学归纳法来证明加强命题：（1）当n?1时，由a1?1?a知
1，所以当n?1时命题成立 1?a1（2）假设当n?k时，有1?ak?成立，则当n?k?1时
1?a1?a1?ak?1?1?a?ak11?a?1，还有ak?1?1?a?， 11?a1?a所以n?k?1时命题也成立
由（1）（2）知对于一切n?N*，有1?an?加强命题得证，同样原命题也得证
1成立 1?a2.6构造向量类
向量有其几何意义，但又有着代数的运算性质，所以它注定是几何和代数之间的桥梁，这也是向量最近几年在中学崛起的原因。向量不仅在解析几何、立体几何中的重要作用，有些看似与向量无关的问题，也可以通过构造向量来解决。引入向量我们可以通过其几何意义或者运算性质，将问题化繁为简，看清问题的本质，迅速解决问题。
例 6.1 已知函数y?1?x?3?x的最大值为M，最小值为m，求值
14
M的m
拿到这一道题的一般解法应该是平方法，这样一来将这个函数转化为 然后研究复合函数的内层函数f(x)?3?2x?x2在y2?4?23?2x?x2的形式，定义域上性质，求出最大值和最小值。
这里涉及到是函数最值问题，看似与向量无关，但是仔细观察函数的解析式，我们能不能通过向量的坐标形式把解析式简化呢？于是我们可以构造两个向量
OA??1,1?，OB???????1?x,?3?x，原来的解析式化简为
?????y?OA?OB?OAOBcos?OA,OB?，我们要求的就是cos?OA,OB?，思路很
清楚了，就是利用数形结合思想来解决问题。
解：构造两个向量OA??1,1?，OB??????????1?x,?3?x，原来的解析式化简为
??y?OA?OB?OAOBcos?OA,OB?，又OA?2，OB?2 ，带入解析式得
?????到y?OA?OB?22cos?OA,OB?，我们根据向量OB?意义及特点，知道OB表示的是半径为2的
??1?x,3?x的几何
?1圆，于是得到图形6.1： 4
图6.1
当?AOB?0时，ymax?22?1?22 当?AOB??4时，ymin?22?2?2 2 15