所以要求的

M22??2 m2除了运用到向量的坐标表示，很多时候我们还需要用到向量的一个重要性质：a?b?a?b

????x2y2z2例 6.2 已知x,y,z?0，并且???2，求证：2221?x1?y1?zxyz???2 2221?x1?y1?zx2y2z2我们由已知???2 （1） 2221?x1?y1?zx2y2z2111化简得???1??1??1??2 2222221?x1?y1?z1?x1?y1?z即

111???1 （2） 2221?x1?y1?z从（1）（2）两个等式我们发现可以组合为结论所需的形式，于是我们构造两个

?111,,向量a???1?x21?y21?z2??222???xyz?,b??,,222??1?x1?y1?z????，然后利用向??量的性质，问题迎刃而解。

证明：由已知可得

?111???1 1?x21?y21?z2222???xyz?,b??,,222??1?x1?y1?z???111,,构造向量a???1?x21?y21?z2???????， ??由a?b?a?b，那么a?b?a?b带入得

?xyz????1?x21?y21?z2???111???????1?x21?y21?z2??22??2?2?2??x2y2z2????1?x2?1?y2?1?z2??????1?2??x2y2z2即??1?x2?1?y2?1?z2??xyz??2???2 ，故222?1?x1?y1?z? 16

这类问题的解题步骤，一般是构造向量，然后利用向量的性质a?b?a?b解决问题。其实复数也有类似性质z1?z2?z1?z2?z1?z2，又因为复数在几何意义和代数运算上与向量有很多相似之处，所以我们把构造复数法并入构造向量法中，统称为构造向量类。

例 6.3 设a,b,x,y?R?，且x2?y2?1，求证：

a2x2?b2y2?a2y2?b2x2?a?b[11]

????显然这个问题直接平方来做会有一定的运算量，我们如果能够巧妙构造两个复数z1,z2那么是不是能使问题迅速解决呢？

又问题中a2x2?b2y2,a2y2?b2x2与复数的模形式类似，于是我们构造的复数为z1?ax?byi,z2?bx?ayi，这样一来，答案很容易得到。

证明：构造两个复数z1?ax?byi,z2?bx?ayi，则由z1?z2?z1?z2，带

入z1,z2得(a?b)x?(a?b)yi?ax?byi?bx?ayi

即(a?b)x2?y2?a2x2?b2y2?a2y2?b2x2 也就是结论a2x2?b2y2?a2y2?b2x2?a?b得证

2.7 构造特殊模型

其实以上所有构造法都可以视作构造模型，比如构造图形模型，构造函数模型，构造方程模型等。下面介绍两个特殊的模型，通过构造特殊模型，我们把抽象的纯数学问题巧妙转换为易解的实际问题。

例 7.1 已知x1,x2,x3,x4是正整数，求满足x1?x2?x3?x4?9的正整数解的对数

关于不定方程x1?x2?x3????xn?r解的个数是大学《组合数学》里涉及的内容，但是在高中数学里我们完全可以通过构造模球、放球、插空等模型来解决这类问题。

解：方程x1?x2?x3?x4?9的解可以转化为这样的模型：有9个完全相同的

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球，放入4个盒子内，要求每个盒子内必须有球，有多少种不同放法？ 为了求这种模型的放法，我们再次构造模型：有9个完全相同的球并排放置，我

[12]

们需要插5个空，每两个空之间球的个数代分别表4个盒子中球的个数。如图7.1

图7.1

其中A，B两个空必须选中，所以就相当于从剩下的8个空里选取3个空

于是这种插空法就共有C8种，也就是我们的答案，满足x1?x2?x3?x4?9的正整数解的对数有C8对

例 7.2 ?ABC的三个内角都是三角形有多少个？

33?的整数倍，且三个内角不全相等，这样的8??的8倍，可以看做把这8个的角分配到三角形88???的三个内角里。或者直接列一个方程，设三个内角分别为x1，x2，x3于

888???是有x1?x2?x3??，也就是x1?x2?x3?8（这里三个内角全相等的情况

由三角形内角和为?，它是

888不会出现），我们想到这和例7.1是同类问题，解法相同。

解：构造一个与问题解类似的模型：将8个完全相同的小球，放入3个盒子里，要求每个盒子里必须有球，有多少种不同放法？

同样为了求这种模型的放法，我们再次构造模型：有8个完全相同的球并排放置，我们需要插4个空，每两个空之间球的个数代分别表3个盒子中球的个数。如图7.2

图7.2

其中A，B两个空必须选中，所以就相当于从剩下的7个空里选取2个空 于是这种插空法就共有C7种，于是原问题的答案?ABC的三个内角都是数倍，且三个内角不全相等，这样的三角形有C7个

22?的整8 18

3.结语

构造法的应用还有很多，这里不能一一列举，上面列举的七个构造方法是中学阶段应用最多几个构造形式。从上面七个构造形式，我们看到构造法作为中学阶段很实用的思想方法之一，最主要原因是构造法能创造性的使用已知条件。[13]正是由于构造法的内涵丰富，所以构造法没有固定的模式来套用，对构造法的应用要以实际问题为基础，针对问题所呈现的条件特点采用解决问题的方法。

构造法在解题中过程中有着意想不到的效果，它使解题变得灵活而且充满技巧。构造法解题需要从多角度多渠道出发，综合运用数形结合、转化与化归等多种数学思想。中学阶段运用构造法解题，不仅是掌握了一种特殊的解题方法，更重要的是在运用构造法解题时，将各种数学思想融合贯通，这也正符合了教学大纲要求的对数学思想的学习。

中学是最初正式接触数学思想的阶段，也是培养数学思想最重要的阶段。构造法作为培养数学能力和数学思想一种特殊方法，中学阶段对构造法的学习与应用变得意义重大。学习构造法、运用构造法是感受数学魅力的伊始，在数学的海洋里，构造法就是一叶扁舟，探索者们需要乘风破浪，扬帆起航，去瀚海深处寻找数学魅力的源泉。

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