中学数学中常用的七类构造法 下载本文

所以要求的

M22??2 m2除了运用到向量的坐标表示,很多时候我们还需要用到向量的一个重要性质:a?b?a?b

????x2y2z2例 6.2 已知x,y,z?0,并且???2,求证:2221?x1?y1?zxyz???2 2221?x1?y1?zx2y2z2我们由已知???2 (1) 2221?x1?y1?zx2y2z2111化简得???1??1??1??2 2222221?x1?y1?z1?x1?y1?z即

111???1 (2) 2221?x1?y1?z从(1)(2)两个等式我们发现可以组合为结论所需的形式,于是我们构造两个

?111,,向量a???1?x21?y21?z2??222???xyz?,b??,,222??1?x1?y1?z????,然后利用向??量的性质,问题迎刃而解。

证明:由已知可得

?111???1 1?x21?y21?z2222???xyz?,b??,,222??1?x1?y1?z???111,,构造向量a???1?x21?y21?z2???????, ??由a?b?a?b,那么a?b?a?b带入得

?xyz????1?x21?y21?z2???111???????1?x21?y21?z2??22??2?2?2??x2y2z2????1?x2?1?y2?1?z2??????1?2??x2y2z2即??1?x2?1?y2?1?z2??xyz??2???2 ,故222?1?x1?y1?z? 16

这类问题的解题步骤,一般是构造向量,然后利用向量的性质a?b?a?b解决问题。其实复数也有类似性质z1?z2?z1?z2?z1?z2,又因为复数在几何意义和代数运算上与向量有很多相似之处,所以我们把构造复数法并入构造向量法中,统称为构造向量类。

例 6.3 设a,b,x,y?R?,且x2?y2?1,求证:

a2x2?b2y2?a2y2?b2x2?a?b[11]

????显然这个问题直接平方来做会有一定的运算量,我们如果能够巧妙构造两个复数z1,z2那么是不是能使问题迅速解决呢?

又问题中a2x2?b2y2,a2y2?b2x2与复数的模形式类似,于是我们构造的复数为z1?ax?byi,z2?bx?ayi,这样一来,答案很容易得到。

证明:构造两个复数z1?ax?byi,z2?bx?ayi,则由z1?z2?z1?z2,带

入z1,z2得(a?b)x?(a?b)yi?ax?byi?bx?ayi

即(a?b)x2?y2?a2x2?b2y2?a2y2?b2x2 也就是结论a2x2?b2y2?a2y2?b2x2?a?b得证

2.7 构造特殊模型

其实以上所有构造法都可以视作构造模型,比如构造图形模型,构造函数模型,构造方程模型等。下面介绍两个特殊的模型,通过构造特殊模型,我们把抽象的纯数学问题巧妙转换为易解的实际问题。

例 7.1 已知x1,x2,x3,x4是正整数,求满足x1?x2?x3?x4?9的正整数解的对数

关于不定方程x1?x2?x3????xn?r解的个数是大学《组合数学》里涉及的内容,但是在高中数学里我们完全可以通过构造模球、放球、插空等模型来解决这类问题。

解:方程x1?x2?x3?x4?9的解可以转化为这样的模型:有9个完全相同的

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球,放入4个盒子内,要求每个盒子内必须有球,有多少种不同放法? 为了求这种模型的放法,我们再次构造模型:有9个完全相同的球并排放置,我

[12]

们需要插5个空,每两个空之间球的个数代分别表4个盒子中球的个数。如图7.1

图7.1

其中A,B两个空必须选中,所以就相当于从剩下的8个空里选取3个空

于是这种插空法就共有C8种,也就是我们的答案,满足x1?x2?x3?x4?9的正整数解的对数有C8对

例 7.2 ?ABC的三个内角都是三角形有多少个?

33?的整数倍,且三个内角不全相等,这样的8??的8倍,可以看做把这8个的角分配到三角形88???的三个内角里。或者直接列一个方程,设三个内角分别为x1,x2,x3于

888???是有x1?x2?x3??,也就是x1?x2?x3?8(这里三个内角全相等的情况

由三角形内角和为?,它是

888不会出现),我们想到这和例7.1是同类问题,解法相同。

解:构造一个与问题解类似的模型:将8个完全相同的小球,放入3个盒子里,要求每个盒子里必须有球,有多少种不同放法?

同样为了求这种模型的放法,我们再次构造模型:有8个完全相同的球并排放置,我们需要插4个空,每两个空之间球的个数代分别表3个盒子中球的个数。如图7.2

图7.2

其中A,B两个空必须选中,所以就相当于从剩下的7个空里选取2个空 于是这种插空法就共有C7种,于是原问题的答案?ABC的三个内角都是数倍,且三个内角不全相等,这样的三角形有C7个

22?的整8 18

3.结语

构造法的应用还有很多,这里不能一一列举,上面列举的七个构造方法是中学阶段应用最多几个构造形式。从上面七个构造形式,我们看到构造法作为中学阶段很实用的思想方法之一,最主要原因是构造法能创造性的使用已知条件。[13]正是由于构造法的内涵丰富,所以构造法没有固定的模式来套用,对构造法的应用要以实际问题为基础,针对问题所呈现的条件特点采用解决问题的方法。

构造法在解题中过程中有着意想不到的效果,它使解题变得灵活而且充满技巧。构造法解题需要从多角度多渠道出发,综合运用数形结合、转化与化归等多种数学思想。中学阶段运用构造法解题,不仅是掌握了一种特殊的解题方法,更重要的是在运用构造法解题时,将各种数学思想融合贯通,这也正符合了教学大纲要求的对数学思想的学习。

中学是最初正式接触数学思想的阶段,也是培养数学思想最重要的阶段。构造法作为培养数学能力和数学思想一种特殊方法,中学阶段对构造法的学习与应用变得意义重大。学习构造法、运用构造法是感受数学魅力的伊始,在数学的海洋里,构造法就是一叶扁舟,探索者们需要乘风破浪,扬帆起航,去瀚海深处寻找数学魅力的源泉。

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