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第一部分 课后习题

1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学

生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： A B C 1 235 333 432 2 117.5 166.5 216 3 78.3 111 144 4 58.75 83.25 108 5 … … 86.4 … 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。

2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g

装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。

3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部

只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长（cm） 重量（g） 胸围（cm） 36.8 765 24.8 31.8 482 21.3 43.8 1162 27.9 36.8 737 24.8 32.1 482 21.6 45.1 1389 31.8 35.9 652 22.9 32.1 454 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数

4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?应

多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

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5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工

出尽可能多的圆盘。

6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下

建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

7. 举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重

之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最大体重抓举 （kg） 挺举 （kg） 总成绩（kg） （kg） 54 59 64 70 76 83 91 99 108 〉108 132.5 137.5 147.5 162.5 167.5 180 187.5 185 195 197.5 155 170 187.5 195 200 212.5 213 235 235 260 287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430 457.5

第一部分 课后习题答案

1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表： 宿舍 A B C 总计 （1） 3 3 4 10 （2） 2 3 5 10 （3） 2 3 5 10 （1） 4 5 6 15 （2） 4 5 6 15 （3） 3 5 7 15 2. （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本

也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又

因为形状一定时一般有s?w2/3，故商品的价格可表为C??w??w2/3??第 3 页 共 22 页

（?,?,?为大于0的常数）。 （2）单位重量价格c?C????w?1/3??w?1，其简图如下： w

显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。 3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身

长l的立方成正比，即w?k1l，k1为比例系数。

常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是

3w?k2d2l，k2为比例系数。

利用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：

实际重量（g） 模型765 482 1162 737 482 1389 652 454 w?k1l3 模型727 469 1226 727 483 1339 675 483 w?k2d2l 730 465 1100 730 483 1471 607 483 基本上满意。

4. 将管道展开如图：

可得w??dcos?，若d一定，w趋于0，?趋于?/2；w趋于?d，?趋于0。若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为?dl/w，若考虑两端影响，则应加

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上?dw/sin?。对于其它形状管道，只需将?d改为相应的周长即可。

5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板

材之间均可相切。 方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为N1=[a/2][b/2]

方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）3?a，于是

m=??a?2???1 ?3?

图1 图2

列数（按图2第1行计数）n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。

圆盘总数为N2???m([b]?1)/2(1)

?m([b]?1)/2?1/2(2)其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，[b]为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为N1/N2)：

a 4 7 10 15 20 b 3 2/2 3/3 5/5 7/8 10/11 5 4/4 6/6 10/10 14/16 20/22 8 8/7 12/11 20/18 28/28 40/39 10 10/9 15/14 25/23 35/36 50/50 14 14/13 21/20 35/33 49/52 70/72 20 20/19 30/29 50/48 70/76 100/105 当a，b较大时，方案二优于方案一。

其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。 6. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主

要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是

S?l2，所以饲养食物量w?l2。

7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s?l（l是某特

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3征尺寸），体重w?l，于是y?w2/3。

?用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合y?w，可得

?=0.57，结果如下图4。

图3 图4

第二部分 课后习题

1.

2. 3. 4. 5. 6.

Malthus模型预测的优缺点。 阻滞增长模型预测的优缺点。 简述动态模型和微分方程建模。

按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。

叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。

试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。

第二部分 课后习题答案

1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为

常数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。

2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口

增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。

3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对

象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。

4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预

防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。