《构造与论证（二）》配套练习题

一、解答题

1、如图，在3×3的方格表中已经填入了9个整数．如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？

2、某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？ 3、平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选取红线或蓝线连接．小红说：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形．她说的对吗？

4、4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．小明说：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的． 他说的对吗？

5、在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？

6、有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．小刚说：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈． 他说的对吗？

7、有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开

1

始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

(1)某2堆石子全部取光？ (2)3堆中的所有石子都被取走？

8、若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？

答案部分

一、解答题 1、

【正确答案】 不能

【答案解析】 2与其他数的奇偶性不同加上同一个数，得到的数的奇偶性也不同，所以不可能变成相同的数。 【答疑编号10304525】 2、

【正确答案】 可以 【答案解析】

首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书未读过，记为C．设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、

C．

2

由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以一定可以找出一本书A，使得甲读过而乙未读过，否则乙就比甲至少多读过一本书．这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C未读过A．

因此可以找到满足要求的两个学生． 【答疑编号10304526】 3、

【正确答案】 对 【答案解析】

①先考虑A和其他5个点的连线，由抽屉原理，其中必定有3条同色，不妨如图设AB、AD和AE都是红色； ②再考虑B、D、E三点间的连线：

如果BD、BE、DE同色，则三角形BDE已经是三边同色．

如果BD、BE、DE不同色，则其中必定至少有某两点间的连线是红色，于是这两点和A点则构成了一个三边同色的三角形．

3