代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题解答

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第一章 代数基本概念

1.

如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.

G,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群G为交换群. 2.

如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.

G,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b

G,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知G为交换群. 3.

设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]

设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i

akaiaiak

再由乘法的封闭性可知

G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>

由<1>和<3>知对任意at由<2>和<4>知对任意at

G, 存在amG, 存在as

G,使得

akam=at.

G,使得

asak=at.

由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]

为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.

为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.

3

ak aj------------<1> aj ak------------<2>

j(I,j=1,2,…,n),有

证明: [方法1] 对任意a,b证明: 对任意a,b