②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|． （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|=2，那么x为 1或﹣3 ；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ． ④当x= 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|=5．

【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可； ②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；

③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上． ④分三种情况讨论即可求得．

【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4； ②|x﹣（﹣1）|=|x+1|， 如果AB=2，则x+1=±2， 解得x=1或﹣3；

③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上， 所以﹣1≤x≤2．

④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3， 若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，

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若x+1和x﹣2异号，则等式不成立， 所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．

故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．

【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．

29．（2016?河北）

请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（﹣15）

（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．

【分析】（1）将式子变形为（1000﹣1）×（﹣15），再根据乘法分配律计算即可求解；

（2）根据乘法分配律计算即可求解． 【解答】解：（1）999×（﹣15） =（1000﹣1）×（﹣15） =1000×（﹣15）+15 =﹣15000+15 =﹣14985；

（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18 =999×（118﹣﹣18） =999×100 =99900

【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过

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程得到简化．

30．（2015秋?古田县校级期末）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 7 ，

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 |x﹣2| ． （3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．

（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是 ﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．

（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用距离公式求解即可； （3）利用绝对值求解即可； （4）利用绝对值及数轴求解即可； （5）根据数轴及绝对值，即可解答．

【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；

（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；

（3）∵|x﹣2|=5， ∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5， 解得：x=7或x=﹣3， 故答案为：7或﹣3；

（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|=4，

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∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）有最小值是3．

【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．

31．（2015?宣城模拟）阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014 解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得 2S=2+22+23+24+…+22014+22015②

将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1 请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值．

【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，

将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1， 则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1； （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，

两边同时乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②， ②﹣①得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1）， 则1+3+32+33+34+…+

（3n+1﹣1）．

【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的技巧是解本题的关键．

32．（2013秋?延庆县期末）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小第29页（共39页）

值是 3 ”．

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”

他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是 4≤x≤6 ，最小值是 8 ．

（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．

【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【解答】解：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8；

（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4； 当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4； 当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8， 所以x=﹣2时，y有最大值y=4．

【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．

33．（2014?香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|． 当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣

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