【整体分析】
连接BE，由菱形和折叠的性质，得到AF=EF，∠C=∠A=60°，由cos∠C=
1CE1?，得到△BCE，
2BC2是直角三角形，则BE?3BC，则△BEF也是直角三角形，设菱形的边长为m，则EF=m?FB，2BE?173m，由勾股定理，求出FB=m，则EF?m，即可得到cos∠EFB的值.
882【满分解答】
解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AB∥DC， 由折叠的性质，得AF=EF， 则EF=AB-FB， ∵cos∠C=cos60??1， 2∵点E是CD的中线，
CE1?， BC2CE1?， ∴cos?C?BC2∴
∴△BCE是直角三角形，即BE⊥CD， ∴BE⊥AB，即△BEF是直角三角形.
设BC=m，则BE=BCsin60??在Rt△BEF中，EF=m?FB，
3m， 2由勾股定理，得：FB2?BE2?EF2, ∴FB2?(32)?(m?FB)2， 2解得：FB?则EF?1m， 87m， 81mFB81??； ∴cos?EFB?EF7m781故答案为：.
7【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，菱形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，从而利用解直角三角形进行解题.
3.（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，且EA?EC． AD//BC，AD?CD，E是对角线BD上一点，（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE?BC，且?CBE:?BCE?2:3，求证：四边形ABCD是正方形．
【整体分析】
（1）首先证得?ADE??CDE，由全等三角形的性质可得?ADE??CDE，由AD//BC可得?ADE??CBD，易得?CDB??CBD，可得BC?CD，易得AD?BC，利用平行线的判定定理可得四边
形ABCD为平行四边形，由AD?CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE?BC可得?BEC为等腰三角形，可得?BCE??BEC，利用三角形的内角和定理可得?CBE?180?1?45?，易得?ABE?45?，可得?ABC?90?，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正4方形． 【满分解答】
证明：（1）在?ADE与?CDE中， ?AD?CD??DE?DE， ?EA?EC???ADE??CDE， ??ADE??CDE， QAD//BC，
??ADE??CBD， ??CDE??CBD， ?BC?CD， QAD?CD，
?BC?AD，
?四边形ABCD为平行四边形，
QAD?CD，
?四边形ABCD是菱形；
（2）QBE?BC ??BCE??BEC， Q?CBE:?BCE?2:3，
??CBE?180?2?45?，
2?3?3Q四边形ABCD是菱形，
??ABE?45?， ??ABC?90?，
?四边形ABCD是正方形．
4. 已知：如图，在?ABC中，?ACB?90?，?CAB的平分线交BC于D，DE?AB，垂足为E，连结CE，交AD于点H。
（1）求证：AD?CE；
（2）如过点E作EF∥BC交AD于点F，连结CF，猜想四边形CDEF是什么图形？并证明你的猜想。
AA
EH
F HECDBCDB
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边的关系：DE?AB，BC平分?CAB； 2.角的关系：?ACB?90?，?CAD??EAD；
二．证明AD?CE：根据题目中的条件，联想到用全等证明，证明△ACD≌△AED可得。 三．判断四边形CDEF是什么图形：根据EF∥BC得FH=HD ；再结合CD?DE得四边形CDEF是菱形。
【满分解答】
证明：
（1）∵?ACB?90?，?CAB的平分线交BC于D，DE?AB ∴在△ACD和△AED中
??CAD??EAD?AD?AD ???ACD??AED?∴△ACD≌△AED ∴AC=AE ∴AD?CE
（2）四边形CDEF是菱形。（如上右图）
∵ AC=AE，AD?CE ∴CH=HE ∵EF∥BC，∴∴FH=HD
∴四边形CDEF是菱形.
5.已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点E、F在边BC上，DE // AB，AF // CD，且四边形AEFD是平行四边形。
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①AD = AB；②∠B +∠C= 90°；③∠B = 2∠C。请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形。
EHFH ?CHHD
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边的关系：AD // BC，DE // AB，AF // CD ； 2.特殊图形：梯形ABCD，平行四边形AEFD。
二.试判断线段AD与BC的长度之间的数量关系：分别证明四边形ABED和AFCD是平行四边形，即可得到BC?3AD。
三.选择条件，证明四边形AEFD是菱形：选择条件，证明四边形AEFD有一组邻边相等即可。 【满分解答】
（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：BC?3AD． 证明：∵ AD // BC，DE // AB，∴ 四边形ABED是平行四边形 ∴ AD = BE．
同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得 AD = FC． 又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD = EF．