?n, r?A??n,?r?A*???1,r?A??n?1,
??0,r?A??n?1,易知 rA*?0. 注：按定义
???A11A21L?AA22L*A??12?MM??A1nA2nLAn1?An2??, M??Ann?伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n?1阶子式. (5)【答案】(4.804,5.196)
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值?的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因X的方差为??1,设X的期望为?,则U?X??:N(0,1).
?/n当置信度为1???0.95,时??0.05,有正态分布表知u?2?u0.025?1.96.因此用公式：
I?(x??nu?,x?2?nu?).
2将x?5,??1,n?100,u??1.96代入上式,得到所求的置信区间为I?(4.804,5.196).
2
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当x?0时,sin1为有界变量,2xx?0x为无穷小量,则 1?0,且f?0??0. x2limf?x??limx?0xsin于是f?x?在x?0处连续.故(A)(B)不正确.
xsin又因为lim?x?01?f?0?x2?limx?0?x?0xsin1x2?lim1sin1不存在,所以f?x?x?0?xx2x在x?0处不可导,所以选(C).
【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续,则有
x?x0?limf(x)?limf(x)?f(x0).
x?x0?(2)【答案】(A)
【解析】 F??x??f?lnx?1?x?1??1?f?lnx?1?1?f????2???2f??.
xx?x??x??x?【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
d??x?f?t?dt?f???x?????x??f???x?????x?. ??x??dx(3)【答案】(B)
【解析】A:??A有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值?1??2时,特征向量?1,?2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D)
【解析】P(BA)?1的充分必要条件是
P(AB)?1,即P(AB)?P(A).显然四个选项中,
P(A)当A?B时,AB?A,可得P(AB)?P(A).因此A?B是P(BA)?1的充分条件.因此选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
F(?a)???(x)dx????(t)dt???(x)dx,
????a?ax??ta??随机变量X的密度函数为?(x),则
??????(x)dx?1,又由于?(?x)??(x),所以
12?即
0???(x)dx???(x)dx?,(偶函数积分的性质)
0a??0a????a???(x)dx???(x)dx???(x)dx???(x)dx?.
?a012于是 F(?a)???a???(x)dx???(x)dx??a????01a?(x)dx???(x)dx????(x)dx.
020a
故应选(B).
三、(本题满分5分)
【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
dz?dy?dx?ez?y?xdx?xez?y?x?dz?dy?dx??0.
整理后得 1?xe?z?y?x?dz??1?xez?y?x?ez?y?x?dx??1?xez?y?x?dy.
1?xez?y?x?ez?y?xdx?dy. 由此,得dz?1?xez?y?x方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将z?y?x?xez?y?x?0两边分别对x,y求偏导,
z?y?xz?y?xz??1?e?xe?z?x?1??0,xz?y?xz??1?xe?z?y?1??0,y1??x?1?ez?y?x解之得 z?, x?1?xez?y?xz?y?1.
1??x?1?ez?y?x?dx?dy. 故 dz?z?xdx?zydy?z?y?x1?xe
四、(本题满分7分) 【解析】 lim?令?2a?2a??x?a????lim1??lim1??x??????x??x?a???x?a?x???x?a?xx?x?a??2ax?????????2a??x?a?,
2a?t,则当x??时,t?0, x?a2a??lim?1??x???x?a??x?a?????2a??lim?1?t??e,
t?0?2ax?lim???x???x?a?1t2a??所以 lim?1??x???x?a?而
?x?a??2ax?????????2a??x?a??e?e?2a.
?????a4x2e?2xdx??2?b?????a2?2x?2x?x2de?2x???2xe?4xedx ?a??a2?2b?? ?lim?2be ?2ae2?2a??2a2e?2a??2???a??a??axde?2x
?2x????2xe???2?e?2xdx
?2ae2?2a?2b?2a?2b?2a????lim??2be?2ae?lim?e?e?b????? b???? ?2ae由e?2a2?2a?2ae?2a?e?2a,
?2a2e?2a?2ae?2a?e?2a,得a2?a?0,所以a?0或a?1.
五、(本题满分9分) 【解析】(1) 利润函数为
L?pq?C?(d?eq)q?(aq2?bq?c)?(d?b)q?(e?a)q2?c,
对q求导,并令
dLdLd?b?0,得?(d?b)?2(e?a)q?0,得q?. dqdq2(e?a)d2Ld?b??2(e?a)?0,q?因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利dq22(e?a)润的最大值点,所以Lmax(d?b)2??c. 4(e?a)(2) 因为q(p)?peq?d11. (d?p),所以q?(p)??,故需求对价格的弹性为??q??qeqee(3) 由??1,得q?d. 2e
六、(本题满分8分)
x【解析】由题设可得示意图如右.设P1(x,f(x)),P2(x,e?1),则S?PP12,
即
?x0f(t)dt?ex?1?f(x).
xx两端求导,得f(x)?e?f?(x),即f(x)?f?(x)?e. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
?p(x)dxp(x)dxf(x)?e?(?q(x)e?dx?C)
?dxdx1?e?(?exe?dx?C)?(?exexdx?C)e?x?Ce?x?ex.
211x?x由初始条件f(0)?0,得C??.因此,所求函数为f(x)?(e?e).
22【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
七、(本题满分6分)
【解析】因为f(x)分别在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在
?1?(0,c),?2?(c,1),使得
f?(?1)?f(c)?f(0)f(1)?f(c),f?(?2)?,c?01?c