P(X?1500)?解： 从而所求概率为

510002dx??1500x23??。 ?1?1?C???3?05?C152?1???3?3?4?1?1135。

5. 设连续型随机变量X~N，（1）求P?2?X?5?（2）确定常数C使（3，4）,PX?2；

??P?X?C??P?X?C?。

?5?3??2?3?P(2?X?5)??????????(1)??(?0.5)?2??2???(1)??1???0.5???0.5328解：（1） P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2???2?3???2?3???1?????????????0.5??1???2.5??0.697722?????? （2）由于P?X?c??P?X?c?，从而，P?X?c??12。 ??0??故1?c?3?c?3?P?X?c??????02?2?。所以，2,故c?3。 6．设连续型随机变量XE(?)，证明：对一切实数s?0，t?0有

P(X?s?t|X?t)?P(X?s)。

证明：由于XE(?)，从而其分布函数为

x?0,??0,F(x)????x??1?e,x?0.

故，对一切实数s?0，t?0，

P(X?s?t|X?t)?P(X?s?t,X?t)P(X?s?t)?P(X?t)P(X?t) 1?P(X?s?t)1?F(s?t)e??(s?t)?????t1?P(X?t)1?F(t)e ?e??s?1?F(s)?P(X?s)。

习题2-4 二维随机变量及其分布

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，

记

?1,若抽到一等品,?1，若抽到二等品,X1?? X2??

其他.其他.?0,?0，试求(X1,X2)的联合分布列。

解：

P?X1?1,X2?1??0;P?X1?1,P?X1?0,P?X1?0,X2?0??P?X1?1??80?0.8;10010X2?1??P?X2?1???0.1;10010X2?0???0.1。1002．设随机变量ZU(?2,2)，随机变量

???1,X????1,Z??1,Z??1; Y?????1,??1,Z?1,Z?1.

试求(X,Y)的联合分布列。

解：由ZU(?2,2)知其密度函数为?1?,?2?z?2,f(z)??4?0,其他.??1 P(X??1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z??1)??P(X??1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?0；

?211dz?44； P(X?1,Y??1)?P(Z??1,Z?1)?P(?1?Z?1)??P(X?1,Y?1)?P(Z??1,Z?1)?P(Z?1)??3. 完成下列表格

Y X 211dz??142； 1111dz?44。 y1 0.1 0.2 0.3 y2 0.1 0.2 0.3 y3 0.2 0.2 0.4 pi. 0.4 0.6 1 x1 x2 p.j

4．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?x2?cxy,f(x,y)???00?x?1,0?y?2其他，

求：（1）常数c；（2）P{X?Y?1}；（3）X和Y的边缘密度函数。

解：（1）1???10?12?0?x?cxy?dydx?3?c,c?3 22??1?x?217??P?X?Y?1????x?xydy?dx????0??0372????1。 求X的边缘密度函数： 当

fX?x??x?0或x?1时，

?f?x,y?dy。 fX?x??0；

???? 当0?x?1时，求Y的边缘密度函数：

fX?x???202?21?2?x?xy?dy?2x?x33。 ??f?x,y?dx。当

fY?y??1?????y?0或y?2时，fY?y??0；

当0?y?2时，fY?y??11?21?x?xydx??y??0?336。 ??5. 设(X,Y)服从G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀分布，求：

（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）P{Y?X}；（3）X和Y的边缘密度函数。 解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：

2?1?,f?x,y???2??0,PY?X（2）0?x?2其他。2,0?y?1; ????204?x21?dy?dx???3。 ?02?（3）先求X的边缘密度： 当

fX?x??时

，

?????f?x,y?dy；

。 当

x?0或x?2fX?x??00?x?2时，

fX?x???1011dy?22。 fY 再求Y的边缘密度函数：

?y???????f?x,y?dx

当

y?0或y?1时，fY?y??0；当0?y?1时，fY?y???201dx?12。 习题2-5 条件分布及随机变量的独立性

1．设二维离散型随机变量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值，相应概率依次为

1115, , , ，试判断随机变量X与Y是否相互独立。 126312

1P(X?0)?,12解：由于P?X?0, 而所以，X与Y不独立。

151P?Y?0????,12122 11?P?X?0?P?Y?0??,1224 Y?0??2. 设随机变量X与Y相互独立，试完成下表：

Y X x1 x2 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 pi. 1/4 3/4 p.j

1 3．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

??1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??

0,其他.??试判定X与Y是否相互独立。 解：

fX(x)??????f(x,y)dy.

；当0?x?1时，

当x?0或x?1时，

fX(x)?0.

fX(x)??1dy?2x02x.

fY(y)??????f(x,y)dx当y?0或y?2时，fY(y)?0；当0?y?1时，fY(y)??1dx?1?y21y2. 由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时，

f(x,y)?fX(x)?fY(y)，

且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0，所以，X与Y不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?cxy20?x?1,0?y?1f(x,y)??，

其他?0求常数c，并判断X与Y是否相互独立。

1?解：??????????f?x,y?dxdy?1c2??cxydydx?,???0??0?6从而，c1?6。