回扣5 不等式与线性规划

1.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题

??a>0，(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.??a<0，?

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是?

?Δ<0.?

3.分式不等式

f?x?

>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； g?x?

??f?x?g?x?≥0?≤0?，f?x?

≥0(≤0)?? g?x??g?x?≠0.?

4.基本不等式

(1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时取等号. a＋b②≥ab(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.

2(2)几个重要的不等式：①ab≤?②

a＋b?2

?2?(a，b∈R)；

a2＋b2a＋b2ab

≥≥ab≥(a>0，b>0，当a＝b时等号成立). 22a＋b

1

③a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；

a

④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立). 5.可行域的确定

“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划

(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.

1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错. 2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.

f?x?3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而

g?x?忽视g(x)≠0.

4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋

13

的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)

xx2＋2

时应先转化为正数再求解.

5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解. y－2

6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域x＋2内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.

1.下列命题中正确的个数是( )

ab11

①a>b，c>d?a＋c>b＋d；②a>b，c>d?>；③a2>b2?|a|>|b|；④a>b?<.

dcabA.4 B.3 C.2 D.1 答案 C

ab

解析 ①a>b，c>d?a＋c>b＋d正确，不等式的同向可加性；②a>b，c>d?>错误，反例：dcab11

若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，则>不成立；③a2>b2?|a|>|b|正确；④a>b?<错误，反

dcab11

例：若a＝2，b＝－2，则<不成立.故选C.

ab

2.设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为( ) A.M>N B.M

解析 M－N＝2a(a－2)＋4－(a－1)(a－3)＝a2＋1>0.故选A.

3

3.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )

8A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)

答案 C

??k<0，3

解析 由题意可知2kx＋kx－<0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足?代入

8?Δ<0，?

2

求得－3

y≥x－1，??

4.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x，

??y≤1，是q的( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 答案 A

解析 如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包y≥x－1，

??

括边界)；?y≥1－x，

??y≤1，

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

则p

②表示△ABC内部区域的所有点(包括边界).实数x，y满足②则必

然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.

1

5.不等式≥－1的解集为( )

x－1A.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.(－∞，0]∪(1，＋∞) 答案 C

11x

解析 由题意得，≥－1?＋1＝≥0，解得x≤0或x>1，所以不等式的解集为(－

x－1x－1x－1∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.

??2x－y－6≤0，

6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件?目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的

?x－y＋2≥0，?

B.[0，＋∞) D.[0，1)∪(1，＋∞)

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最大值为40，则＋的最小值为( )

ab