最新新人教A版高中数学必修一1.3.1第1课时函数的单调性学案 下载本文

精选word文档 下载后可编辑打印

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

[学习目标] 1.了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这些定义的本质特点.

[知识链接]

1.x-2x+2=(x-1)+1>0;

2.当x>2时,x-3x+2=(x-1) (x-2)>0; 32

3.函数y= x-3x+2的对称轴为x=. 2[预习导引]

1.定义域为I的函数f(x)的增减性

2

2

2

2.函数的单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格)的单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 解决学生疑难点

精选word文档 下载后可编辑打印

精选word文档 下载后可编辑打印

要点一 函数单调性的判定与证明

1

例1 求证:函数f(x)=2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.

x证明 对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1

有f(x1)-f(x2)=2-2

x1x2

2

x2x2-x1x2+x12-x1=22=. 22

x1x2x1x2

∵x10,x1+x2<0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

∴函数f(x)=2在(-∞,0)上是增函数.

22

x对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1

x2-x1

2x21x2

x2+x1

22

.

∵00,x2+x1>0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 1

∴函数f(x)=2在(0,+∞)上是减函数.

x规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下:(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1

2-x跟踪演练1 已知函数f(x)=,证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.

x+1证明 任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2. 2-x12-x2x2-x1

则f(x1)-f(x2)=-=x1+1x2+1x1+x2+∵x2>x1>-1,

∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 因此f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(-1,+∞)上为减函数. 要点二 求函数的单调区间

精选word文档 下载后可编辑打印

.

精选word文档 下载后可编辑打印

例2 画出函数y=-x+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.

??-x+2x+1,x≥0,

解 y=?2

??-x-2x+1,x<0,?-?

即y=?

??-

2

2

x-x+

2

+2,x≥0,+2,x<0.

2

函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为(-1,0),(1,+∞).

规律方法 1.作出函数的图象,利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确.

2.函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过程中不要忽略了函数的定义域. 3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.

??-x-3,x≤1,跟踪演练2 作出函数f(x)=?2

?+3,x>1?x-??-x-3,x≤1,

解 f(x)=?2

?x-+3,x>1?

的图象,并指出函数的单调区间.

的图象如图所示.

由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞). 要点三 函数单调性的简单应用

例3 已知函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围. 解 ∵f(x)=x-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]+2-(1-a), ∴f(x)的减区间是(-∞,1-a]. ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,

∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合. ∴1-a≥4,解得a≤-3.

规律方法 1.二次函数是常见函数,遇到二次函数后就配方找对称轴,画出图象,会给研究

2

2

2

2

精选word文档 下载后可编辑打印