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1．3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
[学习目标] 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．
[知识链接]
1．x－2x＋2＝(x－1)＋1＞0；
2．当x＞2时，x－3x＋2＝(x－1) (x－2)＞0； 32
3．函数y＝ x－3x＋2的对称轴为x＝. 2[预习导引]
1．定义域为I的函数f(x)的增减性
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2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 解决学生疑难点
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要点一 函数单调性的判定与证明
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例1 求证：函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
x证明 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1 有f(x1)－f(x2)＝2－2 x1x2 2 x2x2－x1x2＋x12－x1＝22＝. 22 x1x2x1x2 ∵x1 ∴函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数． 22 x对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 x2－x1 2x21x2 x2＋x1 22 . ∵0 ∴函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数． x规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1 2－x跟踪演练1 已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数． x＋1证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2. 2－x12－x2x2－x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝x1＋1x2＋1x1＋x2＋∵x2＞x1＞－1， ∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数． 要点二 求函数的单调区间 精选word文档 下载后可编辑打印 . 精选word文档 下载后可编辑打印 例2 画出函数y＝－x＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间． ??－x＋2x＋1，x≥0， 解 y＝?2 ??－x－2x＋1，x＜0，?－? 即y＝? ??－ 2 2 x－x＋ 2 ＋2，x≥0，＋2，x＜0. 2 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)． 规律方法 1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确． 2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域． 3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． ??－x－3，x≤1，跟踪演练2 作出函数f(x)＝?2 ?＋3，x＞1?x－??－x－3，x≤1， 解 f(x)＝?2 ?x－＋3，x＞1? 的图象，并指出函数的单调区间． 的图象如图所示． 由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． 要点三 函数单调性的简单应用 例3 已知函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 解 ∵f(x)＝x－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]＋2－(1－a)， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. 规律方法 1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究 2 2 2 2 精选word文档 下载后可编辑打印