1.函数与映射

两集合 A、B 对应关系 f：A→B 函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)(x∈A) 映射 设A，B是两个非空集合 集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表示法

表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法. 3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 4.常见函数定义域的求法

类型 2nf?x?，n∈N＋ x满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0，且f(x)≠1，g(x)>0 πf(x)≠kπ＋，k∈Z 21与[f(x)]0 f?x?logaf(x)(a>0，a≠1) logf(x)g(x) tanf(x)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )

(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )

1.下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A.f(x)＝|x| C.f(x)＝x＋1 答案 C

解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等. 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，

故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 2.函数f(x)＝10，? A.??2?

1

的定义域为( )

?log2x?2－1

B.(2，＋∞) B.f(x)＝x－|x| D.f(x)＝－x

1

0，?∪(2，＋∞) C.??2?答案 C

1

0，?∪[2，＋∞) D.??2???x>0，11

0，?解析 要使函数f(x)有意义，需使?解得x>2或0

???log2x?－1>0，

∪(2，＋∞).

??1＋log2?2－x?，x＜1，

3.(2015·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝?x－1则f(－2)＋f(log212)等于( )

?2， x≥1，?

A.3 答案 C

B.6 C.9 D.12

解析 因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，

f(log212)?2log212?1?2log212?2?1?12?1?6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C. 24.(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )

答案 B

解析 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B. 5.给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合. 其中真命题的序号有________. 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图像不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.