大学物理简明教程（上册）习题选解

第1章 质点运动学

1-1 一质点在平面上运动，其坐标由下式给出x?(3.0t?4.0t2)m，y?(?6.0t2?t3)m。求：（1）在

t?3.0s时质点的位置矢量；

（2）从t?0到t?3.0s时质点的位移；（3）前3s内质点的平均速度；（4）在t?3.0s时质点的瞬时速度；

（5）前3s内质点的平均加速度；（6）在t?3.0s时质点的瞬时加速度。

解：（1）r?(3.0t?4.0t2)i?(?6.0t2?t3)j m 将t?3.0s代入，即可得到 r3??27(i?j)m

（2）?r?r3?r0，代入数据即可。

（3）注意：v?r3?r03?0=?(9i?9j)m/s

（4）v?drdt=?(21i?9j)m/s。

（5）注意：a?v3?v03?0=?(8i?3j)m/s2

（6）a?dv=?(8i-6j)m/s2dt，代入数据而得。

1-2 某物体的速度为v0?(125i?25j)m/s，3.0s以后它的速度为v?(100i-75j)m/s。 在这段时间内它的平均加速度是多少？

解：a?v3?v03?0=?(8.33i?33.3j)m/s2

1-3 质点的运动方程为r?(i?4t2j?t k)m。（1）写出其速度作为时间的函数；（2）加速度作为时间的函数； （3）质点的轨道参数方程。

解：（1）v?drdt=(8t j?k)m/s （2）a?dvdt=8j m/s2； （3）x?1；y?4z2。

1-4 质点的运动方程为x?2t，y?2?t2（所有物理量均采用国际单位制）。求：（1）质点的运动轨迹；（2）从t?0到t?2s时间间隔内质点的位移?r及位矢的径向增量。

解：（1）由x?2t，得t?x2，代入y?2?t2，得质点的运动轨道方程为 y?2.0?0.25x2；

（2）位移 ?r?r2?r0=4(i?j)m 位矢的径向增量 ?r?r2?r0=2.47m。 （3）删除。

1-6 一质点做平面运动，已知其运动学方程为x?3cosπt，y?sinπt。试求：

（1）运动方程的矢量表示式；（2）运动轨道方程；（3）质点的速度与加速度。

解：（1）r?3cosπti?sinπtj；

）x2（29?y?1

（3）v??π3sinπti?cosπtj；

a??π2(3cosπti?sinπtj)

y *1-6 质点A以恒

A 定的速率v?3.0m/s沿 直线y?30.0m朝?x方

? a 向运动。在质点A通过y B O x 轴的瞬间，质点B以恒 题1-6图

定的加速度从坐标原点

出发，已知加速度a?0.40m/s2，其初速度为零。试求：欲使这两个质点相遇，a与y轴的夹角?应为多大？ 解：提示：两质点相遇时有，xA?xB，yA?yB。因此只要求出质点A、B的运动学方程即可。或根据

(vt)2?y2?(12at2)2可解得：??60?。

1-77 质点做半径为R的圆周运动，运动方程为

s?vt?102bt2，其中，s为弧长，v0为初速度，b为正

的常数。求：（1）任意时刻质点的法向加速度、切向加速度和总加速度；（2）当t 为何值时，质点的总加速度在数值上等于b？这时质点已沿圆周运行了多少圈？

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ds?v0?bt； 解：（1）先求速率v?dtdvv2?v0?bt?at???b；an?； ?dtRR2a?(4?t2)m/s2。已知t?3.0s时，该质点的速度为

v?2.0m/s，坐标x?9.0m。求质点的运动方程。

解：这是运动学第二类问题，用积分法，并带入初始条件得 x?2t2?14t?t?0.75m。 1214a?a?a?b2R2??v0?bt? R142（2）令a?at2?an?b2R2??v0?bt?=b RvS解得 t?0； 根据N?， 将t代入得质点2?Rb2t2n2v0运行圈数：N?。 4πbR1-11 物体沿直线运动， 其加速度和速度的关系 为a?(32?4v)m/s2，已知t?0时，x?0，v?0。求该物体在任意位置的速度。

解：同上题，用积分法得 v = 8(1?e?4t)m/s。

*1-8 在离水面高 为h的河岸上，有人以恒 定的速率u拉绳子使小船 靠岸。求：当小船与河岸 的水平距离为x时，小船 的速度和加速度的大小。 u C l h ? o x A 题1-8图 1-12 子弹以初速度v0?200m/s发射，初速度与水平方向的夹角为60?。求：（1）最高点处的速度和加速度；（2）轨道最高点的曲率半径。

解：（1）在最高点处速度沿轨道切线方向，即水平方向，大小为v0cos?=100m/s； 加速度的方向指向地心，大小为 g。

（2）根据an?222解：（1）设船速为v，绳长为l。注意：人拉绳，船前进时l、x和?都在变。 由图中可找到几何关系l?h?x，两边求导得dldx2l?2x， dtdtdldx而 u?， v?， dtdth2dxl?u=u1?2 故小船的速度 v?xdtxv2?，得曲率半径??v2 ?1000m。

an1-13 飞机以100m/s的速度沿水平直线飞行，在距离地面100m高处，驾驶员要将救灾物资投放到前方预定地点。（1）此时目标应在飞机下前方多远？（2）物品投出2s后的切向加速度和法向加速度各为多少？（提示：任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

gt??arctan。

v解：（1）这是平抛运动。就在物资的运动学方程为： 水平方向：x?vt，

竖直方向：y?解得 x?（2）将上式对t求导，得a?h2dvd=（u1?2） xdtdth22小船的加速度的大小为a =3u。x 1-9 一物体沿直线运动，其速度和时间的关系为v?(0.1?0.02t2)m/s，当t?0时，物体在坐标原点右12gt。 22y?g2?100?452m 9.8方0.2m处。求：（1）t?0和t?2s末时物体的加速度；（2）t?0和t?2s末时物体的位置；（3）物体是否作匀加速直线运动？ 解：已知v?(0.1?0.02t2)m/s，求导得a?0.04t，积分并代入初始条件，得x?0.2?0.1t?（2）at?gsin?，an?gcos?，而??arctan解得 at?1.88m/s2

at?9.26m/s2

gt， v0.023t。 3（1）将t?0和t?2s代入得x = 0.2m；x = 0.453m （2）将t?0和t?2s代入得a = 0；a = 0.08m/s2。 1-10 物体沿直线运动，其加速度和时间的关系为1-14 一气球以匀速率v0从地面上升。由于风的影响，它获得了一个水平速度vx?by（b为常数，y为上升高度）。求：（1）写出气球的运动方程； （2）气球的水平偏离与高度的关系x(y)；（3）气球沿轨道

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运动的切向加速度和曲率如何随着上升高度y变化。

解：（1）已知vy?v0，显然有y?v0 t；

2bv0而 vx?by?bv0 t，积分得x?t2；

2（3）位矢与其速度矢量恰好垂直时有r?v?0，结果为 t = 1.87s。

1-18 当骑车人以速度18km/h自西向东行进时，看见雨滴垂直下落，当他把速度加快为36km/h时，看见雨滴在与它前进方向成120?下落，求雨滴对地面的速度。

解：同上，以地面为参考系。车相对于地面速度v1，自西向东；雨滴相对地面速度v2，骑车人看见雨滴速度v?2（相对速度）。 气球的运动学方程为 r?（2）轨道方程为 x?bv02ti?v0tj； 2b2y； 2v022222（3）气球的运动速率v?vx，故 ?vy?b2v0t?v0切向加速度为 at?2t2nbv0ydv ?222dtby?v022n2（4）由于a?a?a，所以an?a?a?得，曲率半径为 ??v2?，

(by?v)2bv0222032

由左图：

? v1 v2 v?2 ? v1

v2v?2 v2sin??v1，得v2?v118?km/h=36km/h sin?sin?1-15 杂技表演中摩托车沿半径为50.0m的圆形路线行驶，摩托车运动方程为S?(10.0?10.0t?0.5t2)m，在t?5.0s时，它的运动速率、切向加速度、法向加速度和总加速度是多少？

dS?10.0?1.0t，将t?5.0s代解：根据速率v?dt入，得速率为v=5m/s；

dv，将t?5.0s代入，得切向加速度at??1m/s2；dtv22 = 1.1m/s2。 an??0.5m/s2；a?at2?anRat??故可知 v2与v? 2数值相等，方向为竖直向下偏西30，

如右图所示。

1-19 当速率为30m/s的西风正吹时，相对于地面而言，向东、向西、向北传播的声音的速率各是多少？已知声音在空气中的传播速率为344m/s。

解：向东： （344 + 30）m/s = 374m/s

向西： （344 - 30）m/s = 374m/s 向北：v?3442?302?345m/s

1-20 一条东西方向的小河，河宽为100m，河水以3.0m/s的流速向正东方向流动。有一条船从南岸的

1-16 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，角位移用下式表示：??(2?t)rad。求质点的切向加速度的大小正好等于总加速度大小的一半时，?的数值。

3码头出发向正北方向行驶， 船相对于水的速率为

4.0m/s。求：（1）小船相对于地面的速度：（2）小船

到达对岸的何处？ 解：

（1）v?4.02?3.02?5.0m/s tan??3.0?0.75，方向为东4.0解：将??(2?t3)rad对t求导得速率，再求导得

2加速度，由于a?at2?an，当切向加速度的大小正好

4.0m/s ? 3.0m/s 等于总加速度大小的一半时，?的数值为3.15rad。

1-17 一电子在电场中运动，其运动方程为（1）计算电子的运动轨迹；x?3t，y?12?3t2（SI)。

（2）计算t?1s时电子的切向加速度、法向加速度及轨道上该点处的曲率半径；（3）在什么时刻电子的位矢与其速度矢量恰好垂直。

解：（1）从参数方程消t得电子轨迹：y?12?偏北53.1? （2）

d3.0?， 1004.0解得d = 75m，即码头正对岸下游处75m处。

x；

3（2）方法同前，得at?5.37m/s2；at?2.68m/s2；

??16.8m；

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