内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 例谈韦达定理解含参数的一元二次不等式

韦达定理是研究一元二次不等式的重要工具，而巧用韦达定理还可以解决一类含参数的二次不等式的求解问题．

定理：若ax2?bx?c?0?a?0?有两实根x1,x2?x1?x2? 则

?1? ax2?bx?c?0的解为x?x1或x?x2． ?2? ax2?bx?c?0的解为x1?x?x2．

b?x?x????12a其中x1,x2满足?

?x?x?c12?a?11?x?，试解不等式?cx2?x?a?0． 23111122解法1．由ax?x?c?0的解为??x?可知a?0且?,是ax?x?c?0

2323例1．已知ax?x?c?0的解为?21?11??????a?6?23a??的两根．则由韦达定理可知? ?c??1??1?1?c??23a那么?cx?x?a?0即为x?x?6?0 ，其解为x??3或x?2 解法2．上面解题过程中也可不求a,c的值：

221?11?11????????23?aa6??由韦达定理可知?

11cc1?????????6?23a?a那么由a?0，在?cx?x?a?0两边同除以a可得：?即

2c21x?x?1?0 aa121x?x?1?0 ?x2?x?6?0 其解为x??3或x?2 66例2．知关于x的不等式ax?bx?c?0的解为??x??，其中0????，

2求cx?bx?a?0的解．

解：由ax?bx?c?0的解为??x??可知a?0，

22 1

b?

???????a

再由韦达定理可知?

????c?a?

a?0 在cx2?bx?a?0两边同除以a可得：

c2bx?x?1?0 aa即??x2??????x?1?0 ???x?1???x?1??0 又0???? 故?x???111??1? 且? x??0???????????解为x?1?或x?1?

例3．已知关于x的不等式ax?bx?c?0的解为??x??，其中??0??， 求cx?bx?a?0的解．

22b???????a解：由条件易知a?0．再由韦达定理可知?

????c?a?在cx?bx?a?0两边同除以a 则：

22c2bx?x?1?0 aa即??x??????x?1?0 ???x?1???x?1??0 又??0?? 故?x???11111??1????? 且 则 x??0????????????? 所求不等式的解为?1??x??1?．

评述：韦达定理在一元二次不等式和对应的二次方程关系中起到了导航的作用，在求解

中达到了化难为易、化繁为简的目的，同学们不妨一试．

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