九年级数学上册《第一章 一元二次方程》一元二次方程知识点总结及典型习题(无答案)(新版)苏科版 下载本文

一元二次方程

一、本章知识结构框图

实际问题 设未知数,列方程 数学问题 ax2?bx?c?0(a?0) 开平方法 解方程降次配方法 数学问题的解 公式法 分解因式法 实际问题的答案 检 验 ?b?b2?4ac x?2a

二、具体内容 (一)、一元二次方程的概念

1.理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式; 2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

(1)明确只有当二次项系数a?0时,整式方程ax?bx?c?0才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). (3)熟练整理方程的过程

3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4.列出实际问题的一元二次方程

(二)、一元二次方程的解法

1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;

2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程; 3.体会不同解法的相互的联系; 4.值得注意的几个问题:

2(1)开平方法:对于形如x?n或(ax?b)?n(a?0)的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未

22知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解. 形如x?n的方程的解法:

2

当n?0时,x??n; 当n?0时,x1?x2?0; 当n?0时,方程无实数根。

(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为(x?m)?n的方程,再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤:

①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边; ②“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1; ③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为(x?m)?n的形式; ④求解:若n?0时,方程的解为x??m?

22n,若n?0时,方程无实数解。

?b?b2?4ac(3)公式法:一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根x?

2a2当b?4ac?0时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;

当b?4ac?0时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为x1?x2??当b?4ac?0时,方程无实数根.

公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般式;②确定a,b,c的值;③代入b?4ac中计算其值,判断方程是否有实数根;④若b?4ac?0代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。

(因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。)

(4)因式分解法:

①因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若ab?0,则a?0或b?0; ②因式分解法的一般步骤:

若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 (5)选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。 (6)解含有字母系数的方程

(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;

(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

2222b; 2a2

(三)、根的判别式

1.了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 (1)?=b?4ac

(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)

22?a?0①当??方程有实数根;

??0时?(当??a?0?a?0) ?方程有两个不相等的实数根;当??方程有两个相等的实数根;

???0时???0时?a?0②当??方程无实数根;

??0时?从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。

2.常见的问题类型

(1)利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况

(2)已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 (3)应用判别式,证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式(关键步骤); ②用配方法将判别式恒等变形; ③判断判别式的符号; ④总结出结论.

例:求证:方程(a?1)x?2ax?(a?4)?0无实数根。

(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧 (6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合 (7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

(四)、一元二次方程的应用

1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。

2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。

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