5.5三角形内角和定理

（一） 教学目标 知识技能 探索三角形的内角和，并初步体会利用辅助线解决几何问题． 教 学 数学思考 在探索三角形内角和的过程中，培养学生观察、猜想和论证能力． 目 解决问题 能够利用三角形的内角和解决相关计算问题 标 情感态度价值观 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，弘扬个性发展。获得成功体验． 重点 掌握三角形内角和定理的证明极其简单应用． （二） 学习准备 1. 平行线的性质有哪些？ 2. 三角形内角和是多少度？

? 课中导学 （合作探究 反思提升）

我们已经通过度量的方法知道了三角形内角和等于180°，但是由于不同形状的三角形有无数个，我们不可能用度量的方法一一验证所有三角形，于是我们需要寻求一种能证明任意三角形内角和等于180°的方法。

? 探究1：在纸上画一个三角形，并将它的内角撕下来拼在一起，就得到一

个平角，从这个操作过程，你能发现证明的思路吗？

【动手操作已经准备好的三角形纸片，独立完成拼合，拼合完成后进行交流】 可能有如下的拼合方式，根据拼合的图形，容易发现三角形的三个内角的和确是180°．

ABC

图1 图2 图3

经过观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，我们还需要通过数学知识来

说明.怎样用数学知识来说明呢？。请同学们完成下面的证明过程 【分组合作，小组讨论，然后进行交流】

A求证：三角形内角和等于180°

如图，已知△ABC，试证明∠A+∠B+∠C=180°。 方案一 ：证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB．则 ＿＿＿＿＿（两直线平行，内错角相等）； BC＿＿＿＿＿（两直线平行，同位角相等）；

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）， ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=180°（等量代换）． 即：∠A+∠B+∠C=180°．

方案二：证明：过点A作直线PQ∥BC． ∵PQ∥BC（已作）， ∴＿＿＿＿＿＿＿（两直线平行，内错角相等）； ＿＿＿＿＿＿＿（两直线平行，内错角相等）． ∵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=180°（平角定义）， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

★应用新知 （勤于动手 用于尝试） ☆ 练习1：在△ABC中，如果∠C=∠B=2∠A, (1) 求∠A、∠B、∠C的度数。

(2) 若BD⊥AC,垂足为D,求∠DBC的度数。 解：(1)设∠A=x°则∠C=∠B=＿＿°

A∵∠A+∠ABC+∠C=180°（＿＿＿＿＿＿＿＿） ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿=180 解得：x=＿

∴∠A=＿＿, ∠ABC=＿＿, ∠C=＿＿, （2）∵BD⊥AC (已知)

D∴∠＿＿=＿＿°（垂直的定义）

∴∠＿＿+∠＿＿=90°(直角三角形两锐角互余) BC∵∠C=＿＿°（已证） ∴∠DBC=＿＿°

☆ 练习2：在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和E分别在AB和AC上，

ADEBC

且DE∥BC，求证：∠ADE=50°

【思考：你认为解决此类问题的策略与方法是什么？】

? 探究2：（学生小组合作、分组讨论，探索其中的数量关系）

A 已知：在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，

（1）若∠A =50°，求∠D的度数？ （2）请你探索∠A和∠BDC的数量关系．（直接写出结轮） D B12C解（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB （已知） ∴∠1=

112∠＿＿，∠2=2∠＿＿，（角平分线的定义） ∴∠1+∠2=12∠ +12∠ =12（∠ +∠ ）（等式的基本性

质）

又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A=＿＿° ∴∠1+∠2=

12× = ° ∴∠BDC=180°—（∠1+∠2）= 。

（2）结论：∠BDC=

? 练习巩固 （我巩固 我提高）

1. △ABC中，∠A=55°，∠B=25°，则∠C= °

2. 如图，AD与BC交于点O，AB∥CD，∠B=30°，∠D=60°，则∠BOA=____°

ABOACDP

第2题 第 3题

BC 3.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点P，若∠A=70°，则

∠BPC= °

4.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数。

? 反思感悟

通过本节的学习，我们知道了：

1. 证明三角形内角和定理的基本思路是设法将三角形的三个内角拼成一个平角，

利用平移角或做平行线的方法构造平角。

2. 证明角度之间的关系或求某些角度时，常常找到这些角所在的三角形，利用三

角形内角和定理来解，如果找不到他们所在的三角形，可以通过添加辅助线构造三角形（辅助线在图中用虚线画出）。

? 随堂检测：（自我测验，查缺补漏）

1. 如果△ABC的三个内角之比为1：3：4，则△ABC是（ ）

(A) 锐角三角形 （B）直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定

2. 已知等腰三角形的一个角为80°，则另外两个角的度数是（ ）

(A)80°和20° (B)50°和50°

(C)100°和80° (D)80°和20°或50°和50°

3. 如图所示，已知CD∥AB，AD、BC交于点O，∠AOB=80°，若∠C=30°，求∠

EAD的度数。

CDOEAB

4. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠A=∠DCB

【思路点拨：有直角或垂直时，要想到利用直角三角形的两锐角互余这一性质】

证明：∵∠ACB=90°（已知）

∴∠1+∠2=＿＿°（垂直的定义） C ∵CD⊥AB （已知）

∴∠3=＿＿°

21∴∠2+∠A=＿＿( ) ∴∠A=∠1 (同角的余角相等)

3ADB? 布置作业：（分层作业 各有所获）

A组

（一）选择题

D1. CD∥AB,，AC与CD交于点O，∠A=30°，∠COD=105°，则∠D=( ) CA. 30° B. 45° C . 65° D. 75° O2. 已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个三角形的顶角

AB为（ ）

AA 40° .B 100° C 40°或100° D 70°或50

3. 在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，∠A=80°，∠ACB=60

D那么∠BDC的度数为（ ） A 80° B 90°

C 100° D 110° BC（二）填空题：

4. 如左图，点B、C、D 在同一直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°， 那么∠A=＿＿ A5. 如右图：△ABC中，∠B=40°，则∠1+∠

2+∠3+∠4=＿＿＿°

D3

1A24EBECB组

DE

BCD（三）解答题

M6. 如图，BE 与CD 相交于点A，CF为∠

BCD的平分线，EF为

FA∠BED的平分线，

N（1）试探求∠F与∠B、∠D之间的关系 BC（2）若∠B：∠D：∠F=2：x：3， 求x的值