一、设X1,X2,,Xn为N(0,?2)的一个样本，求?2的极大似然估计。

,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数为

二、设X1,X2,??x??1,0

?(??1x?)x,?0?

X pk

其中?(0???0 1 2 3 ?2 2?（1??) ?2 1?2? 1)是未知参数，利用总体X的如下样本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，2求?的矩估计值和极大似然估计值。 五、 设X1,X2,,Xn为泊松分布?(?)的一个样本，试证样本方差S2是?的无偏估计,并

且，对于任意值?(0???1),?X?(1??)S2也是?的无偏估计。

2?1?n2提示：S?X?nX?i?

n?1??i?1?2六、设X1,X2,n?1i?1,Xn总体X~N(?,?2)的一个样本，试适当选择常数C,使

C?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。

提示：E[(Xi?1?Xi)2]?D(Xi?1?Xi)?[E(Xi?1?Xi)]2

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练习7.3 区间估计

一、填空题

1. 设总体X~N(?,?2)，?的置信度为1??置信区间为 。 2. 设X~N(?,?2)，?与?均未知，则?与?的置信度为1??置信区间为

2

2

和 。

二、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为

2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14 设钉子长分布为正态的，试求总体均值?的90%的置信区间：

1. 若已知??0.01厘米；2. 若?为未知。

三、随机地抽取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差?的95%的置信区间。

四、测量铅的比重16次，得x=2.705，s=0.029,试求铅的比重的95%的置信区间。设测量结果服从正态分布，并知测量无系统误差。

五、对方差?为已知的正态总体来说，问抽取容量n为多大的样本，方使总体均值?的置信度为100(1??)%的置信区间长度不大于L.

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自测题（第七章）

2

一、填空题（每空5分共40分）

1. 设总体X的分布含有未知参数?，对于给定的数?(0???1),依样本X1,X2,,Xn确

?(X,X,定的两个统计量?1122. 设X1,X2,?(X,X,,Xn)，?212??????)?1??, ,Xn)满足P{?12,Xn)的概

则 叫做置信度为 的置信区间。

,Xn是来自泊松分布?(?)的样本，?为未知参数，则(X1,X2,率分布为 ；设n?10时，样本的一组观测值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，

8），则样本均值为 ；样本方差为 。

??e??x,x?03. 设总体X服从指数分布，f(x)??,??0为未知参数，X1,X2,? 0, x?0,Xn是来

自X的样本，则未知参数?的矩估计量是 ；极大似然估计量是 。 4. 设总体X~N(?,a2)，若?,a2均为未知参数，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为?x????ss?,x???,则?的值为 。 nn?二、（10分）设总体X~N(?,102)分布，若使?的置信水平为1??=0.95的置信区间长度为5，试问样本容量n最小应为多少？

?1,0

?),并判断??是否为?的无偏估计量。 求：1. ?的矩法估计量??; 2. E(?四、（10分）设(X1,X2)总体X的样本，试证统计量：d1(X1,X2)?13X1?X2; 44d2(X1,X2)?1211X1?X2;d3(X1,X2)?X1?X2都是总体期望E(X)的无偏估计。 3322????1??, x??五、（15分）设总体X的分布函数为F(x)??,其中未知参数??1,??0,x?0, x???设X1,X2,,Xn为来自总体X的样本。

1.当??1时，求?的矩估计量； 2.当??1时，求?的极大似然估计量； 3.当??2时，求?的极大似然估计量。

?2e?2(x??),x??六、（15分）设总体X的概率密度为f(x)??,其中??0是未知参数，从总

?0, x??体X中抽取简单随机样本X1,X2,1.求总体X的分布函数F(x); 2.求统计量??的分布函数F?(x)； ?3.如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性。

练习 1.1

一、1. ??{(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)};2. {0,1,2,3,4,5,6}。

??min(X,X,,Xn，记?12,Xn).