???????E1?(?n)?(?n)??n2?02?0?0???? E??n ?(?n)?022?02?0???????E3?n?n?n2?02?0?0σ
n
E1
E2
σ E3 可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反。 １２、 三个无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为σ１、σ２、σ３，求下列情况
各处的场强：（１）σ１＝σ２＝σ３＝σ；（２）σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；（３）σ＝σ３＝－σ；σ２＝σ；（４）σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ。
???
解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0各区域场强为各带电面产生场强的叠加 Ｅ１ ?１
Ｅ２ ? 2?0?Ｅ３ ? 2?0?Ｅ４ 3? 2?0σ１ σ２ σ３
（１） 3? ?2?0（２） ? ?2?0（３） ? ?2?0（４） ? ?2?0 ? ?2?0??? ?2?0??? ?2?0??Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３
Ｅ４
? 2?03? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0１３、 一厚度为d的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求板内、板外
场强的分布。
解：根据对称性，板内外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称。
应用高斯定理可求得：
???板内（r ?0??d? 板外（r>d/2）E?r2?0r１４、 在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，P区内有负电荷， 两区电荷的代数和为零。把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触。取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是-xn≤x≤0,p区的范围是０≤x≤xP.设两区内电荷体密度分布都是均匀的： + n区 ?(x)?NDe， P区 ?(x)??NAe (突变结模型) + -xn + + + - - - - - - - - - O - - - - - - xp x 16 n区 p区 这里ＮＤ、ＮＡ是常数，且ＮＡxp=NDxn(两区电荷数量相等)。 试证明电场的分布为： n区 E(x)?NDe?0NAe(xn?x)， P区 E(x)??0(xp?x) 并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。 解：将带电层看成无数无限大均匀带电平面的叠加， 由叠加原理可知，在p-n结以外区域，E=0 （１） 对高斯面S1，应用高斯定理 ??1E?dS?ES?NpeS(xn?x)1?S?0S1 + + E1?1?0Npe(xn?x)-xn + + + （ 2 ）对高斯面S2，应用高斯定理 - - - - - - - - - O - - - - - - xp S2 x ??1E?dS?ES?NAeS(xp?x)2?Sn区 p区 ?0E1?1 ?0NAe(xp?x) （ 3 ）ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。 ρ - -xn 0 xp x １５、 如果在上题中电荷的体分布为 p-n结外 ρ（x）=0 E -xn 0 xp x -xn≤x≤xp ρ（x）=-eax (线性缓变结模型) 这里a 是常数，xn= xp（为什么？），统一用xm/2 表示。试证明电场分布为 E(x)?ae2(xm?4x2)并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。 8?0解：正负电荷代数和仍为零，p-n结外E=0 作高斯面 ??1E?dS?ES??S2eaS2eaSxm22(?eax)Sdx?(x?x)?(?x)n?0??xn2?02?04xE?ea2(xm?4x2)8?017 ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。 E ρ -xn 0 xp x -xn 0 xp x ---------------------------------------------------------------------- §1.4 电位及其梯度 思考题： １、 ?Q?假如电场力的功与路径有关，定义电位差的公式UPQ?U(P)?U(Q)??E?dl还有 P没有意义？从原则上说，这时还能不能引入电位差、电位的概念？ ?Q?答：如果电场力的功与路径有关，积分?E?dl在未指明积分路径以前就没有意义，路 P径不同，积分结果也不同，相同的位置，可以有无限多取值，所以UPQ?U(P)?U(Q)就没有确定的意义，即不能根据它引入电位、电位差的概念来描写电场的性质。 ２、 （1）在附图a所示的情形里，把一个正电荷从P点移动到Q，电场力的功APQ是 正还量负？它的电位能是增加还是减少？P、Q两点的电位哪里高？（2）若移动负电荷，情况怎样？（3）若电力线的方向如附图b所示，情况怎样？ 答：(1)正电荷在电场中任一点受电场力F= qE，方向与该点E方向相 同，在ＰＱ路径上取任一微元， dA>0 P→Q，电场力的功APQ >0， P APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>0,所以电位能减少， q>o ,A>0,所以ＵＰ>UQ Q 图b P Q 图a （２）负电荷受力与电场方向相反，P→Q，电场力的功APQ<0，电位能增加，但仍有 ＵＰ>UQ （３）由于场强方向与前述相反，则所有结论与（１）（２）相反。 ３、 电场中两点电位的高低是否与试探电荷的正负有关？电位差的数值是否与试探电 荷的电量有关？ 答：电位高低是电场本身的性质，与试探电荷无关。电位差的数值也与试探电荷的电量无关。 ４、 沿着电力线移动负试探电荷时，它的电位能是增加还是减少？ 18 答：沿着电力线移动负试探电荷时，若dl与Ｅ同向，电场力作负功，电位能增加；反之电位能减少。 ５、 说明电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。 答：在任何情况下，电力线的方向总是正电荷所受电场力的方向，将单位正电荷逆着电力线方向由一点移动到另一点时，必须外力克服电场力作功，电位能增加。电场中某点的电位，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能，因此，电位永远逆着电力线方向升高。 ６、 （1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电场中高 电位处跑还是向低电位处跑？为什么？（2）说明无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高处移向电位能低处。 答：（１）电子带负电，被电场加速，逆着电力线方向运动，而电场中各点的电位永远逆着电力线方向升高——电子向高电位处移动。 （２）若电子初速度为零，无论正负电荷，单在电场力作用下移动，电场力方向与位移方向总是一致的，电场力作正功，电位能减少，所以电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。 ７、 可否规定地球的电位为+100伏，而不规定它为零？这样规定后，对测量电位、电 位差的数值有什么影响？ 答：可以。因为电位零点的选择是任意的，假如选取地球的电位是100V而不是0V，测量的电位等于以地为零电位的数值加上100V，而对电位差无影响。 ８、 若甲、乙两导体都带负电，但甲导体比乙导体电位高，当用细导线把二者连接起 来后，试分析电荷流动的情况。 答：在电场力作用下，电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。负电荷由乙流向甲，直至电位相等。 ９、 在技术工作中有时把整机机壳作为电位零点。若机壳未接地，能不能说因为机壳 电位为零，人站在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？ 答：把整机机壳作为零电位是对机上其他各点电位而言，并非是对地而言。若机壳未接地，它与地之间可能有一定的电位差，而人站在地上，与地等电位，这时人与机壳接触，就有一定电位差加在人体上。当电压较高时，可能造成危险，所以一般机壳都要接地，这样人与机壳等电位，人站在地上可以接触机壳。 １０、 （1）场强大的地方，是否电位就高？电位高的地方是否场强大？ （２） 带正电的物体的电位是否一定是正的？电位等于零的物体是否一定不带 电？ （３） 场强为零的地方，电位是否一定为零？电位为零的地方，场强是否一定为 零？ 19 （４） 场强大小相等的地方电位是否相等？等位面上场强的大小是否相等？ 以上各问题分别举例说明之。 答： （１） 不一定。E仅与电势的变化率有关，场强大仅说明U的变化率大，但U本身 并不一定很大。例如平行板电容器，B板附近的电场可以很强，但电位可以很低。同样电位高的地方，场强不一定大，因为电位高不一定电位的变化率大。如平行板电容器A板的电位远高于B板电位，但A板附近场强并不比B板附近场强大。 （２） 当选取无限远处电位为零或地球电位为零后，孤立的带正电的物体电位恒为 正，带负电的物体电位恒为负。但电位的正负与零电位的选取有关。假如有两个电位不同的带正电的物体，将相对于无限远电位高者取作零电位，则另一带电体就为负电位，由引可说明电位为零的物体不一定不带电。 （３） 不一定。场强为零仅说明U的变化率为零，但U本身并不一定为零。例如两 等量同号电荷的连线中点处，E=0而U≠0。U为零时，U的变化率不一定为零，因此E也不一定为零。例如两等量异号电荷的连线中点处，U=0而E≠0 （４） 场强相等的地方电位不一定相等。例如平行板电容器内部，E是均匀的，但 U并不相等。等位面上场强大小不一定相等。如带电导体表面是等位面，而表面附近的场强与面电荷密度及表面曲率有关。 １１、 两个不同电位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以与自身相交？ 答：在零电位选定之后，每一等位面上电位有一确定值，不同等位面U值不同，故不能相交。同一等位面可与自身相交。如带电导体内部场强为零，电位为一常量，在导体内任意作两个平面或曲面让它们相交，由于其上各点的电位都相同，等于导体的电位，这种情况就属于同一等位面自身相交。 习题： １、 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为100MV（十亿伏特），通过的 电量约为30C。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从0C加热到100C？ 解： 一次闪电消耗的能量为 W=QU=30×109=3×1010（J） 所求的水的质量为M=W/J=72（t） ２、 已知空气的击穿场强为2×10V/m,测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪 6 0 0 电时两端的电位差。 解：U=2×106×100=2×108（V） ３、 证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处 20