电位有何变化？两球面之间的电位差有何变化？

解：保持Q1不变，当外球电量Q2变化时，各区域电位随之变化

14??01Q1Q2??Q?)(r?R1)R1R2U1?(Q1Q2??Q电位差?U?U2R?U1R?1???保持不变 ??U2?(?)(R1?r?R2)4??0?R2R1?4??0rR2U3?Q1?Q2??Q(r?R2)4??0r1Q?11?１８、 求均匀带电球体的电位分布。并画U—x 曲线。

解：（1）由高斯定理可求得场强分布为

?E1??E2?Q4??0RQ4??0r33?r(r?R)

O R ?r(r?R)（2）由场强求得电势为

UP???r??E?dlr2

U1?(3?2)(r?R)8??0RRQU2?(r?R)4??0rQ （3）U—r曲线如图所示

3Q 8??0RQ4??0RU r R １９、 金原子核可当作均匀带电球，半径约为6.9×10米，电荷为Ze=79×1.6×10C,

求它表面上的电位。 解：U?Q4??0R(r?R)?1.64?107V

-15-19

２０、 （1）一质子（电荷为e=1.6×10C,质量为1.67×10kg）,以1.2×10m/s的初

速从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。

（2）α粒子的电荷为2e，质量为6.7×10kg,以1.6×10m/s的初速度从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。 解：由能量守恒定律得

-27

2

-19-272

12179e(Ze)2?79Ze2mv0??rmin? 224??0rmin4??0mv026

（1）rmin2?79Ze2?13??1.5?10m 24??0mv0（2） rmin2?79?2Ze2?14??4.2?10m 24??0mv0-11

2 1 、在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×10m,已知氢原子核（质子）

和电子带电各为±e。把氢原子中的电子从正常状态下离核的最近距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子核的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳。 解：设电子的质量为m，速度为v,氢原子基态的能量为

(?e)e11e222W?mv??mv?24??0a24??0av2e2 电子的运动方程为m?a4??0a2?W?e28??0a?e24??0a??e28??0a??2.18?10?18J??13.6eV

负号是因为，以电子和质子相距无穷远时为电势能的零点，要把基态氢原子的电子和质子分开到相距无穷远处，需要外力做功。这功的最小值便等于氢原子的电离能量E E=-W=-13.6eV

一摩尔氢原子的电离能量为 Emol=NAE=8.19eV=1.31×10(J)

2 2、 轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核

聚变。核聚变过程可以释放出大量能量。例如，四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核（α粒子）时，可释放出28MeV的能量。这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合。这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为T时，粒子的平均平动动能为

6

123mv?kT，k=1.38×10-23J/K.试计算： 22一个质子以怎样的动能（以eV表示）才能从很远的地方达到与另一个质

（１）

子接触的距离？ （２）

平均热运动动能达到此数值时，温度（以K表示）需为多少？

27

解：（1）设两个质子迎头相碰，碰撞时两者中心距离为2r

12e21e2 2Ek?2mv??Ek??3.6?105eV

24??0(2r)24??0(2r)1231e2 (2) 2mv?2?kT?T??3?109K

223k4??0(2r) 实际上，由于量子力学的隧道效应，使质子不需要那么大的动能就可以穿过静电壁垒而达到互相接触，故发生热核聚变所需的温度可以低一些，据估算，10K即可。 ２３、在绝对温度为T时，微观粒子热运动能量具有KT的数量级。有时人们把能量KT折合成电子伏，就说温度T为若干电子伏。问： （１） T=1eV相当于多少开？ （２） T=50keV相当于多少开？ （３） 室温（T=300K）相当于多少 eV? 解： （1）T1eV? （2）T50eV （3）T300K 又如：

太阳表面温度约为6000K，T=0.52eV

热核反应时温度高达10K，T=8.6(keV)

２４、电量q均匀地分布在长为2l的细直线上，求下列各处的电位U：

（１） 中垂面上离带电线段中心O为r处，并利用梯度求Er; （２） 延长线上离中心O为Z处，并利用梯度求EZ； （３） 通过一端的垂面上离该端点为r 处，并利用梯度求Er. 解：（１）中垂面上离中心为r1处，

8

8

1eV?1.16?104K k50eV??5.8?108K

k300K?2??2.6?10eV 41.16?10K/eV28

U1???qdq4??0rln?q8??0l?ldxx2?r12q4??0llnl2?r12?lr1?ly l2?r12?ll?r?l221

8??0l??UE1x???1?0?x?UE1z???1z?0?z?U1y?U1yqE1y???????y?r14??0r1

l z O l x 1l2?r12（２）延长线上离中心为r2 处

U2??qdq4??0r?dx8??0l??lr2?xlqr?l??ln(2)8??0lr2?lE2x?U2?U2q1???????x?r24??0r22?l2?U2z?0?z?U2y????0?yy

O x E2z???E2yz ( 3 )端垂面上离该端为r3处，

U3??dq4??0rq8??0ll?l?l?q?ldx(l?x)?rdx223?l?q8??0llnr32?4l2?2lr3U(a,r3,0)?y O l z l x 8??0(a?x)2?r32

?q8??0llna?l?(a?l)2?r32a?l?(a?l)2?r32E3x???E3y???E3z????U31q11|a?l?(?)22?a8??0lr3r3?4l?U3y?y?q4??0r311r32?4l2?U3z?0?z２５、如图所示，电量q均匀地分布在长为2l的细直线上，

（１） 求空间任一点P（r,z）的电位U(0

r 29

P(r,z) z l l

解：(１)在图示坐标系中，

U(r,z)?8??0l??lr2?z2z?l?r2?(z?l)2z?l?r2?(z?l)2qldzO

?q8??0lln （２）由电势梯度求场强

??11???22222222?(z?l)r?(z?l)?r?(z?l)??(z?l)r?(z?l)?r?(z?l)?

?q??U11??Ez????22?z8??0l?r2?(z?l)2?r?(z?l)??qr?UEr????r8??0l （３）与上题比较：

r＝r1,z=0时, 得中垂面上任一点的电位与场强 r=0,Z=r2时，得延长线上任一点的电位与场强 r＝r3,Z=|l|时，得端面上任一点的电位与场强

２６、一无限长直线均匀带电，线电荷密度为η，求离这线分别为r1和r±两点的两点之间

的电位差。 解：?U??r2r1??r2?r2dr?E?dl??ln

2??0?r1r2??0r1２７、如附图所示，两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为

±η，相距为2a。求空间任一点P（x,y）的电位。

解：取Ｏ点为电势零点时，空间任一点的电势为两无限长带电线电势的叠加

U?U??U?a??a ??ln ?ln(2??0(x?a)2?y22??0(x?a)2?y2(x?a)?y??(x?a)?y?ln?ln222??0(x?a)2?y24??0(x?a)?y2222y P(x,y) -η O a a +η x 若以无穷远处为电势零点，一条无限长带电线所产生的电势是无穷大，但两条无限长带等量异号电荷的直线产生的电势是有限值，因为单位长度的电荷量大小相等而符号相反，结果电势在相加时，消去无穷大，而成为有限值。 ２８、证明在上题中电位为U的等位面是半径为r?2ka的圆筒面，筒的轴线与两直线共k2?1k2?12??U/?面，位置在x?2。Ｕ＝０的等位面是什么形状？ a处，其中k?e0k?1解：P点的电势为

30

y P(x,y,z) a O a -η η x