《实际问题与二元一次方程组》教案

教学设计 三维目标

．会用二元一次方程组解决实际问题．

．培养学生应用方程解决实际问题的意识和应用数学的能力．

．将解方程组的技能训练与解决实际问题融为一体，?进一步提高解方程组的技能． 教学重点

．探索用方程组解决实际问题的过程．

．进一步体会数学的方程建模方法，培养学生的数学应用能力． 教学难点

用方程组建立数学模型的过程． 教学过程 导入新课

从古老的鸡兔同笼问题，到大家喜欢的篮球、足球联赛问题，我们都可以通过方程组来刻画，这一点在本章开头我们已有所了解，今天，我们将进一步来探索用方程组解决现实生活中的问题． 推进新课 活动．出示投影片 探究:

养牛场原有只母牛和只小牛，天约需用饲料675kg；一周后又购进只母牛和只小牛，这时天约需用饲料945kg．饲养员李大叔估计平均每只母牛天约需饲料～20kg，每只小牛天约需饲料～8kg，你能否通过计算检验他的估计？ ．你如何设未知数？

．根据题中条件你能找到等量关系吗？ ．根据等量关系你能列出方程组吗？

．根据你的运算判断李大叔估计的准确性如何． 师：就上面问题，请同学们分组讨论．

（教师可参与学生的小组讨论，多方听取学生意见，及时了解学生动态） 师生共析：

．我们可以设平均每只母牛和每只小牛天各约需饲料和．

．母牛总头数×每头母牛一天的食量小牛总头数×每头小牛一天的食量?天的饲料所需量．

．根据我们可以得到下列方程组：??30x?15y?675,

?(30?12)x?(15?5)y?945. ．对于上述方程组可用我们学过的两种方法来解． 解法一：由①，得． ③ 将③代入②，得（）． 解得．

把代入③，得×．

?x?22.5,∴原方程组的解为?

y?0.? 解法二：①可化为． ③ ②可化为． ④ ③×④，得． ∴．

将代入③，得×． ∴．

∴原方程组的解为??x?22.5,

y?0.? 这就是说平均每只母牛天约需饲料．5kg，而小牛是不吃饲料的，?那小牛吃什么呢？原来它们有牛妈妈的奶呢．

看来饲养员李大叔没有仔细观察，所以估计有偏差．李大叔对母牛的食量估计偏低．对小牛的食量估计过高．

活动．用同样的方法你能解决下列问题吗？

有元，元，元的人民币共张，合计元，其中元张数与元张数相同，三种人民币各有多少张？

问题（）：你准备设几个未知数？

问题（）：你能根据题意列出方程组吗？ 问题（）：会解你列的方程组吗？

（给学生留有足够的思考时间，让他们体会实际问题与多元方程的联系） 分析结果：

（）三种币种，所以要设三个未知数．设元的有张，元的有张，元的有张． （）“共有张”可列方程． “合计元”可列方程．

?x?y?z?50,?“元张数与元张数相等”可列方程，所以可以得方程组?2x?5y?10z?305,

?x?y.? 可我们没有学过三元一次方程组的解法．

师启发：能否借鉴二元一次方程组的解法思路来解决它呢？“二元”能消为“一元”，那么“三元”能消成“二元”吗？

生：用代入法和加减法都可以做到，变成“二元”就好办了．原来转化思想如此奇妙！ 解：将③分别代入①，②得? 由④，得． ⑥ 将⑥代入⑤，得（）． ∴．

将代入⑥，得×．

?2y?z?50,

?7y?10z?305.?x?15,?∴原方程组的解为?y?15,

?z?20.? 议一议：设三个未知数，思考量是小了，但列出的方程组又多了．我们能不能设两个元解决问题．从题中的哪一句话可以考虑减元？

讨论结果：“元与元的张数相同”，所以我们可以设元、元分别有张，?元有张，则有

?x?x?y?50, ?2x?5x?10y?305.? 我们用代入法或加减法都不难解出这个方程组的解为??x?15,

?y?20.