S F 01（数）

计划课时：

Ch 2 0 1 2 时 重积分 P 237—246

2002. 09.26 .

Ch 20 重积分 ( 1 2 时 )

§ 1 二重积分概念 ( 2 时 )

一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .

定义 二重积分 .

例1 用直线网x?为介点 .

解

用定义计算二重积分

[0,1;0,1]2x??yd?.

ij , y? , (1?i,j?n)分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点 nn??D1?i?j11?lim????????lim5n??nnnn??ni?1j?1?n?nn2??ii?1j?1nn2j?

?limn???i??j?lim2i?1j?1nn11n(n?1)1?n(n?1)(2n?1)??.

n??n5626二. 可积条件 : D ? [ a , b ; c , d ]. 大和与小和.

?Th 1 f?R(D), ?

?D??.

??DTh 2 f?R(D), ? ???0 , ? T, ? ????ii??.

Th 3 f在D上连续 , ? f在D上可积 .

Th 4 设[? , ?]?[a , b], ?: [? , ?]?R为[? , ?]上的可积函数. E?{ (x,y)|y??(x) , x?[? , ?]} ? D,

( 或E?{ (x,y)|x??(y) , y?[? , ?]?[c , d]}? D ) . 若f在D上有界 , 且在 D \\ E上连续 , 则f在D上可积 .

例2

[1]P261 E1

237

三． 一般域上的二重积分：

1． 定义： 一般域上的二重积分.

2． 可求面积图形: 用特征函数定义.

例3

( 不可求面积图形的例 ) [1]P262 E2

四.

二重积分的性质 :

性质1

D?kf?k?f.

D 性质2 关于函数可加性 .

性质3 intD1?intD2?? , D?D1?D2. 则f在D上可积 ? f在D1和

D2可积 , 且

D??D1??D2?.

性质4 关于函数单调性 .

性质5 |D?f| ? ?|f| .

DD 性质6 m?f?M , ? m?D? 性质7 中值定理 .

例4

[1]P263 E3.

?f?M?D.

Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( y??(x) , x?[a,b]或

x??(y) , y?[c,d])组成 , f在D上连续 , 则f在D上可积 .

例5

去掉积分

[0,1;0,1]??|x2?y|dxdy中的绝对值 .

Ex [1]P264 1，2，6，7.

238