有限元分析教案
§2.8 虚功方程
从前一节深梁的例子，我们可以看到，弹性力学解析求解的过程是非常复杂的。这样的求解对实际工程情况说来，很多情况根本是不可能的。所以长期以来，技术人员就一直探求数值求解的方法。有限元法是其中最成功的方法。为分析单元特性和简化分析过程，我们还需了解单元的能量关系。因为在力学上，很多时候从能量的角度分析，可以大大简化分析的过程。
一，应变能的概念
有材料力学知，弹性体在受到外力作用发生变形的过程中，弹性体内部会存储变形势能——应变能。在单向应力场中，单位体积的应变能的计算可以表示为：
1dU???
2对于平面问题，有三个应力分量和与之对应的应变分量。由于在小变形情况下，正交力系互不影响，由力的叠加原理，所以该种情况的应变能为：
dU?1??x?x??y?y??xy?xy??1???T????1???T??? 222其中：??????x?y?xy?T ??????x?y?xy?T
11T???????T???dv ??dv???2v2v整个弹性体的应变能：U?上式也表示应力在应变上所做的总功。
二，虚功原理和虚功方程
在理论力学中，我们曾经学到一个虚功原理，也称虚位移原理。其基本思想就是：假定加在物体上一个可能的、任意的、微小的位移，在平衡条件下，物体的约束反力所做虚功应等于外力所做虚功。因为能量必须守恒。
在这里所说的可能的虚位移是指位移必须满足的约束条件。任意的是指位移的方向和类型是随意的。
把这一原理运用到现在的弹性体中，衡量弹性体应满足的平衡能量关系就是：假定加在弹性体上一个可能的、任意的、微小的位移，在平衡条件下，弹性体内的应变能应等于外力所做虚功。同样是因为能量必须守恒。
运用这一原理，我们可以推到有限元中广泛用到的虚功方程。
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假定弹性体发生u、v的虚位移，则由几何方程得：
**?x*?v*?u*?v*?u***?? ?y? ?xy?
?y?y?x?x现考察弹性体微元体和边界处微元体上的力所做虚功：
1内部微元体上的力所做虚功 ○
左面的应力虚功???xdy?1??u
*?*?u*???x??右面的应力虚功??x?dx?dy?1??u?dx?
?x?x????左、右两面上的虚功之和（略去高阶微量，并考虑?x*?u*?） ?x??x*??*?u?dv1 ??x?x?x??同理得剪应力的虚功之和
??u*??xy*????xy?y??yu??dv1 ??体力X的虚功Xudv1
同样的考虑Y方向的?y以及?yx以及体力Y的虚功，然后叠加成内部微元体上的虚功如下：
????x??xy?*???y??yx?*?**2边界上的○???dw1?????Xu???Yv?dv1??x?x??y?*y??xy?xydv1??x????y?x?????y????*??微元体
设斜边中点处的虚位移u、v，形心处的应力为?x、?y、?xy那么在直角边上的应力和位移均有一个负的增量，如图所示，虚功计算为：
**?*?u*dx???xdx?????x??dy?1???u??x2?? ?x2????????x***?dx?????xu??u??x?x??dy?1（略去了高阶微量）
?x??2??同理的dy直角边上的剪应力虚功为：
????xy*?u*?dy?*???xyu????yu??xy?y??2?dx?1 ??????22
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代入已有的几何关系：dx?dssin?，dy?dscos?
斜面上面力的虚功 体积力的虚功
同样的方法求得另一面上正应力与剪应力的虚功，全部相加即得斜边微元体上的虚功之和为：
????x??xy?*???y??yx?*?***?u???v?dv2??x?xdw2?????X??Y??????dv2yyxyxy??x???y??y?x????????????X??xcos???xysin??u*??Y??ysin???xycos??v*
支反力处的虚位移为零，所以支反力不做功，将dw1+dw2，并对整个体积积分，可以得到整
个弹性体内的总虚功：
????x??xy?*???y??yx?*??u???v?dv Wz??????X??Y??x????y?x???y??v????????sv??X???xcos???xysin??u*??Y??ysin???xycos??v*ds ?** ???x?x??y?*y??xy?xydv?根据平衡微分方程和静力边界条件，上式的第一、第二项都是零，所以弹性体的总虚功为：
***Wz???x?x??y?*y??xy?xydv???vv???????dv
T根据能量守恒，它应与外力的虚功相等
****** Wz???x?x??y?*y??xy?xydv??Xu?Yvdv??Xu?Yvdsvvs??????由于该等式引入了平衡方程和边界方程，所以上式虚功方程等价于静力平衡条件（内部和边
界微元体）。不同之处在于它是一种能量的表示形式。为了便于有限元中方便运用，引入广义力和物理方程，虚功方程变形为：
????F???????D????dv
**v综合以上推到过程，虚功方程表达的物理概念就是：“若弹性体处于平衡状态，那么外力在虚位移上作的虚功应等于应力在应变上作的虚应变功，或者说等于虚应变能”。
§2.9 平面问题单元划分
有限元法在平面问题进行分析时，才采用三角形单元和四边形单元、或者矩形单元，三角形单元的优点是简单且对结构的不规则边界逼近好，而矩形单元却更能反映实际弹性体内部的应力应变变化。这两点我们会逐渐向大家说明。
所以一般说来，有限元分析，单元划分的密度和单元种类选取，对计算结果起重要作用。一般单元划分越密集，结果越精确。单元多也导致求解的线性方程组阶数增高，要求计算机的内存也更大，计算的时间也越长，分析的效率就越低。解决
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这一矛盾的方法就是在应力集中区域单元划分密集一些，应力变化梯度小的位置，划稀疏些，这样就能兼顾精度与效率的关系。
一般的原则是： 1） 根据结构的受力和支承特点，按对称和反对称的性质，简化分析模型，以减少
计算分析的规模。
2） 合理布局单元的密集程度，以使计算结果精度高而计算量小。 3） 在同一单元内，单元的特性数据和材质数据应保持一致。 4） 集中载荷的作用点和载荷密度突变处应有节点。 5） 在欲知道应力状态、内力情况和位移值的位置应有节点。 6） 单元的选取欲分析的目标密切相关。
模型的单元划分好后，把所有的单元和节点按一定的规律和顺序进行编号，选择适当的坐标系（直角、柱面和球面），以方便确定各节点的坐标值。
§2.10 节点位移、节点力和节点载荷
弹性体在承受外力作用后，其内力的传递实际是通过单元之间的边界来实现的。但我们把结构离散化后，如果单元划分得足够小时，可以看成为其内力的传递通过单元与单元之间的节点进行传递。对于平面问题而言，每个节点都有位移和力两个未知量，这两个量又都是x、y的函数，注意平面问题的节点是不能传递力矩的，为什么？ 一，节点位移
对三节点三角形单元而言，因有三个节点，每个节点的位移都有x，y两个分量，所以一共有6个自由度。单元节点位移向量可表示为：
???e??uiviujvjumvm
?T二，节点力
所谓节点力，就是单元对节点或节点对单元作用的力，它是弹性体内部的作用力，也就是我们常说的内力。
和上面相同的道理，节点力向量为：
?F?e??UiViUjVjUmVm
三，节点载荷
节点载荷是指作用在节点上的外力，包括： 1直接作用在节点上的外力 ○
2经等效处理后，移植到节点上的等效力。 ○
可用Xi、Yi.表示。由力平衡条件知，节点要保持平衡，那么作用在节点上的载荷应等于节点
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内力的合力。即：
Xi??Ui，Yi??Vi，
ee所有的节点载荷向量表示为?Ri????F?
ie§2.11 三节点三角形单元的位移模式和形函数
弹性结构受外载荷后，内部各点的位移变化规律，一般都是很复杂的。很难找到一个函数来描述整个结构内部各点的位移变化规律。但当把整个结构离散以后，在一个相当小的单元内部，却可以用简单的函数来近似描述单元内部位移的这种变化规律。而不致造成很大的误差。这就好比一条复杂的曲线，用一个函数很难描述，但在把这条曲线分段以后，对于每一条分段曲线，却可以用直线或抛物线来描述。 一，三角形单元的位移模式
设单元内任意一点的位移分量u、v是其位置坐标x、y的线性函数，则：
?u?a1?a2x?a3y a1…a6是待定系数。 ??v?a4?a5x?a6y改写方程组成为矩阵的形式：
?a1??u??1xy000?????????????? ??v??0001xy??a??6?单元的三个顶点i、j、m的坐标已知，分别为?xiyi?、?xjyj?和?xmym?，因为它们
也是单元上的点，所以应该满足以上假定的位移变化规律。代入上式：
ui?a1?a2xi?a3yi vi?a4?a5x?a6yi uj?a1?a2xj?a3yj vj?a4?a5xj?a6yj
um?a1?a2xi?a3yi vm?a4?a5xm?a6ym
解以上6个方程，求得6个待定系数。
uiuja1?um1xixjxmxiyiyjymyiyjym?1?xjym?xmyj?ui??xmyi?xiym?uj??xiyj?xjyi?um2A??
1xj1xm?1aiui?ajuj?amum 2A??25