球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球的性质 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两不等，距圆心较近的弦较长 截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面线的直线必经过切点 的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 ☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：

⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即 观察、比较 联想、类推 猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:

试通过类比,写出在空间中的类似结论. 巩固提高

1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为----------------------------- 2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 直角三角形 3个面两两垂直的四面体 ∠C＝90° ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 3个边的长度a，b，c 4个面的面积S1，S2，S3和S 2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S 3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列列的前n项和

是等和数列，且

，公和为5，那么

的值为______________，这个数

的计算公式为________________

课堂小结

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 2． 类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

演绎推理

教学目标：1. 了解演绎推理 的含义。

2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学过程：

一．复习:合情推理

归纳推理 从特殊到一般 类比推理 从特殊到特殊

从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想 二．问题情境。 观察与思考 1所有的金属都能导电

铜是金属, 所以，铜能够导电

2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, tan ? 是三角函数, 所以，tan ?是 周期函数。

提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？ 二．学生活动 ：

1.所有的金属都能导电 ←————大前提 铜是金属, ←-----小前提

所以，铜能够导电 ←――结论

2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提 (2100+1)是奇数，←――小前提

所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论 3.三角函数都是周期函数, ←——大前提

tan ? 是三角函数, ←――小前提 所以，tan ?是 周期函数。←――结论

三，建构数学

演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式

M—P（M是P） （大前提）

S—M（S是M） （小前提） S—P（S是P） （结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 四，数学运用

例1、把“函数y?x2?x?1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）

例2.已知lg2=m,计算

解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提

lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————结论

lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 =lg(8/10)——－小前提

=lg(8/10)——结论

例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等

解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提，在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提 所以△ABD是直角三角形——结论

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提，因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提 ，所以 DM=

1 AB——结论 2同理 EM= AB 所以 DM=EM. 练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题

五 回顾小结：演绎推理具有如下特点:课本第33页 。 演绎推理错误的主要原因是 1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。 作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。

推理案例赏识

课型：新授课 教学目标：

1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。

2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。 教学过程：

2 复习 合情推理和演绎推理的过程 3 案例：

例一 正整数平方和公式的推导。 提出问题

我们知道，前n个正整数的和为

1S1(n)=1+2+3+…….+n= 2n(n+i) ①

那么，前n 个正整数的平方和

S2（n）＝12?22?32?........?n2＝？ ②

三，数学活动

n(n?1)(2n?1)6思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想 S2（n）＝

思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？

思路2 （演绎的方案）

尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页

左右两边分别相加，等号两边的S2（n）被消去了，所以无法从中求出 S2（n）的值，尝试失败了。 （2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试

（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加， 终于导出了公式。

思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？

提出猜想时使用了哪些推理方法？ 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

四，数学理论：

上面的案例说明：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理

和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，

具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功

能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

五，巩固练习： 阅读课本第39页 棱台体积公式的探求 通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题： 1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？ 2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？ 3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 六，教学小结：

（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理

和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，

具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功

能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探

索活动提供依据。

七，作业： 八，教后感：

直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6．教学过程:

学生探究过程：证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

3322

（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a+b＞ab+ab． 证明：(用分析法思路书写)

3322

要证 a+b＞ab+ab成立，

22

只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，

22

即需证a-ab+b＞ab成立。(∵a+b＞0)

22

只需证a-2ab+b＞0成立，

2

即需证(a-b)＞0成立。

2

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

24223(1?x?x)?(1?x?x). x?1例2、若实数，求证：

证明：采用差值比较法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2

=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

22432(x?1)(x?x?1) 2(x?x?x?1) = =

242423