分布列．
【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．
（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．
（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．
【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；
当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60， 当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，
所以y与x之间的函数解析式为：y=．
（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80， 结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2， ∴a=0.0015，b=0.0020．
（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550． 当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1， 当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，
当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3， 当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15， 当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05． 故Y的概率分布列为：
Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量Y的数学期望
EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．
20．已成椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分
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别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=A1B1A2B2的内切圆． （1）求椭圆C的方程；
为菱形
（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意求得a，直线A2B2的方程为公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知2a=4，所以a=2，
所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则 直线A2B2的方程为所以
=
，即bx+2y﹣2b=0，
，利用点到直线的距离
n2，求n的取值范围．
，解得b2=3，
故椭圆C的方程为；
（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0， 联立
，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）
由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0， 化简得3m2﹣n2+4=0，
设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则解得：t=﹣
，
=（n+1）丨﹣
丨=
，
?=﹣1，
所以△F1HN的面积
代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得
=丨m丨，
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所以丨m丨≥从而≤所以
n2=（3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，
≤4，又n＞0， ≤n≤4，
，4]．
故n的取值范围为[
21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数． （1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；
（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；
（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣2）和f（e﹣2）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出λ的值即可；
（3）记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，求出h（x）的最小值，得到a=
﹣1=f（x2）≥x2﹣1，得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤
﹣
，从而证出结论．
【解答】解（1）对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1， ∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1， 又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，
∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2）， 即y=﹣x﹣e﹣2；
（2）记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0， 由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 下面求函数g（x）的最小值， 对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ， 令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：
x
（0，eλ﹣1） eλ﹣1 （eλ﹣1，+∞） 第23页（共27页）
g′（x） g（x） ﹣ 递减 0 极小值 + 递增 ∴g（x）min=g（x）极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1， ∴λ﹣eλ﹣1≥0，
记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1， 令G′（λ）=0，得λ=1，
当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：
λ G′（λ） G（λ） （0，1） + 递增 1 0 极大值 （1，+∞） ﹣ 递减 ∴G（λ）max=G（λ）极大值=G（1）=0， 故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号， 又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1； （3）先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，
记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2， 令h′（x）=0，得x=e﹣2，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：
x h′（x） h（x） （0，e﹣2） ﹣ 递减 e﹣2 0 极小值 （e﹣2，+∞） + 递增 ∴h（x）min=h（x）极小值=h（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0， h（x）≥0恒成立，即f（x）≥﹣x﹣e﹣2， 记直线y=﹣x﹣e﹣2，y=x﹣1分别与y=a交于（不妨设x1＜x2，则a=﹣从而
，a），（
，a），
﹣e﹣2=f（x1）≥﹣x1﹣e﹣2，
＜x1，当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号，
﹣1=f（x2）≥x2﹣1，
由（2）知，f（x）≥x﹣1，则a=从而x2≤
，当且仅当a=0时取等号，
﹣
=（a+1）﹣（﹣a﹣e﹣2）=2a+1+e﹣2，
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故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤
因等号成立的条件不能同时满足，故|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，
），其参数方程为
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（α为参数），以原点O为极点，
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：求出这个定值．
【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（1）将点P（1，
），代入曲线E的方程，求出a2=3，可得曲线E的
+
为定值，并
普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；
（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论． 【解答】解：（1）将点P（1，解得a2=3，
所以曲线E的普通方程为极坐标方程为
=1，
=1；
），
），代入曲线E的方程：
，
（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（ρ2，则代入曲线E的极坐标方程，可得即
[选修4-5：不等式选讲]
+
为定值．
+
=
=，
23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．
（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；
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